摘要：常微分方程是本科数学专业的一门专业基础课程,其中求解常系数线性齐次微分方程组时,用到矩阵指数,从而让人联想到矩阵对数.本文给出了矩阵指数的定义、性质、计算方法及其应用.继而引申到矩阵对数的学习,本文将结合实例,利用常微分方程中所学的矩阵指数的方法研究给出矩阵对数的定义,并尝试运用数学软件对矩阵对数进行了计算.66021

毕业论文关键词：矩阵指数,矩阵对数,矩阵平方根

Abstract:Ordinary differential equation (ODE) is a professional basic course in mathematics at undergraduate level, it’s matrix exponential which is used in solving homogeneous linear differential equation group reminds me of matrix logarithm. This paper provides the definition, property, computing method and application of the matrix exponential. To extend it to the learning of logarithm of a matrix, this paper will combine some practical examples to explore the definition of matrix exponential by using the matrix exponential methods learned from the ODE, and try to use the mathematical software to calculate the matrix logarithm.

Keywords：matrix exponential, logarithmic matrix, matrix square root

目  录

引言 4

第一章  矩阵指数 6

1.1  矩阵指数的定义 6

1.2  矩阵指数的性质 6

1.3  矩阵指数的计算 7

1.4  矩阵指数的应用 10

第二章  矩阵对数 13

2.1  矩阵对数的概念及其存在条件 13

2.2  矩阵对数和平方根 14

2.3  反scaling and squaring算法计算矩阵对数 14

2.4  MATLAB计算矩阵对数 16

结  论 18

参 考 文 献 19

引言

矩阵指数是一类重要的矩阵函数,它的运算与许多科学计算有关,如：力学计算中的动力学问题、最优控制的计算问题等.求矩阵指数时,运算量大而且复杂是计算数学中的一个较难的课题,研究矩阵指数的计算方法具有重要意义.[4]

常微分方程是数学专业本科的一门专业基础课,其中求解常系数线性齐次微分方程组时,用到矩阵指数,从而让人联想到矩阵对数.本文给出了矩阵指数的定义、性质、计算方法及其应用.首先本文给出矩阵指数的定义.设 ,那么称含有参数 的矩阵幂级数 为矩阵 的矩阵指数,我们把它记为 .特别的,若 ,则 .其次,我们发现矩阵指数的性质与指数的性质相类似,比如： . . .如果 ,那么 .如果 是可逆的,则 .

许多学者对矩阵指数的计算方法进行了讨论[3]；张俊祖给出了计算矩阵指数的一种新方法[5]；杨开春等讨论了矩阵数函数的一种计算方法[6].目前问题的研究方向多为系统地分析矩阵指数的计算方法及应用.本文介绍矩阵指数的相关概念和两种计算矩阵指数的方法,每种方法都给出了理论基础、求解步骤、实例演示和方法评析.[4]

第一种方法是定义计算法,所谓的定义计算法就是直接按照矩阵指数的定义式来求解,将应用矩阵方幂和矩阵幂级数的理论求出 个幂级数,从而求出矩阵指数的方法.这种方法步骤简单,便于编程计算,适合用计算机计算.但是这种方法也有其局限性,通常我们只能得到 的数值结果,一般比较难得到它的函数表达式.如今计算机技术飞速的发展,矩阵指数的计算已经可以在一些数学的软件上轻松的实现.