摘  要：本文主要研究了常见的变换方法在求解常微分方程中的应用，探讨了不同变换方法的思想特点及其优越性，并结合具体实例进行说明，达到了归纳总结，启发思考的目的。

关 键 词: 常微分方程，变换法, 变换思想66749

Abstract：In this paper,we study common transformation method in the application of solving ordinary differential equations, discuss different transformation methods characteristics and superiority. What’s more, connecting with the concrete examples, getting the aim of summarize and revealing thinking.

Keywords：ordinary differential equation,  transformation method,  transformation thought  

                                目      录

1  引言 5

2  预备知识 5

2.1常微分方程简介 5

2.2基本概念 5

3  常见的变换方法 7

3.1 分离变量法 7

3.2 变量替换法 7

3.3 形式变换 8

3.4 交换自变量与因变量地位 8

3.5 方程与方程组相互转化 9

3.6 降阶变换 9

4  变换法在求解微分方程中的应用 10

4.1 一阶显式微分方程求解 10

4.2 一阶隐式微分方程求解 11

4.3 二阶微分方程求解 11

4.4 线性方程求解 12

结论 16

参考文献 17

致谢 18

1  引言

常微分方程作为数学专业应用性很强的基础学科，其与实际生活有着非常密切的联系。微分方程在很多领域都有非常重要的应用。比如物理学、生物生态学、工程技术、经济科学中的大量问题，对它们加以数学描述，从中导出的数学模型就是我们所说的微分方程[1]。只有将得到的微分方程解出来，才能进一步研究这些实际问题。所以，如何求解常微分方程这一问题变得很有意义。在此之前，很多学者都对解各种类型的常微分方程的各种解法做了很详细的归纳和总结。伯努利方程、恰当方程、积分因子法、待定系数法、拉普拉斯变换等等都是解微分方程的重要方法[2]。变换法作为其中最普通的一种，因其求解方法较为简单，往往会被很多人轻视其重要性，但掌握这种方法却对解常微分方程很有很大帮助。在很多题型中采用适当的变换，可将方程化为易于求解的类型。掌握变换法在常微分方程中的应用技巧，能够在不同题型中熟练运用，这会使解题更加巧妙和准确。这里的变换法范围较广，包括分离变量、交换自变量和因变量地位、变换方程阶数、方程与方程组的相互变换等等。本文以变换法为主线进行分析，讲解变换法在不同类型常微分方程中应用，归纳解题规律，指出变换思想，从而达到帮助读者达到以下几个目标：①进一步理解常微分方程基本概念 ②不同类型情况下变换法求解常微分方程的具体方法 ③运用变换法求解常微分方程的思路和优点 ④提高学习者的理解和分析能力。本文将结合具体实例介绍变换法在求解不同类型常微分方程中的应用，各种变换思想都将具体描述。