2  预备知识

2.1  常微分方程简介

    常微分是现代数学的一个重要分支，是众多理工类学科的重要学习工具，更是数学联系实际的桥梁[3]。研究微分方程解法对弄清变量之间关系及他们的变化的趋势有很大的帮助。但是，在一些比较复杂的变化中，变量之间的关系及其变化趋势不能直接得到。这就需要我们要先找出未知函数和它的导数所满足的方程，通过求解这个方程就可以了解到变量的变化规律，这种方程就是我们所说的常微分方程。我们可以对其下个定义，所谓微分方程，就是自变量，未知函数和未知函数的导数的方程[4]。

2.2  基本概念

2.2.1  方程的阶、线性和非线性方程

方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶。线性微分方程是微分方程

中另一重要概念。如果函数 是关于 的一次式，即当方程的形式为

时，则称它为 阶线性微分方程。对于那些不是线性的方程，称其为非线性方程。

比如   这两个分别为一阶、二阶线性方程，

      ，这个就为非线性方程。

2.2.2  方程的通解和特解

    设含有任意常数 的函数  是一阶方程 的解，并且对平面内的某个区域 内的任意一点 ，总有特定的值 与之对应，使得解 满足初值条件 ，则称 是方程 在区域 内的通解。而方程满足初值条件的解我们将其称为特解[5]。文献综述

2.2.3  全微分方程

    若函数 使，  ，即 

则称该方程为全微分方程。以下列举的微分方程均为全微分方程。

    ⑴   

    ⑵   

    ⑶    

2.2.4  降阶法和升阶法

    一般对于高阶微分方程我们处理起来比较困难，需要通过适当的变换把高阶微分方程转换为较低阶的方程来处理，这种方法我们就称作降阶法。与此相对的就是升阶法。一般情况下，阶数升高，解题会变得复杂许多，而在求解常系数非齐次微分方程的特解时，这一方法尤为适用。

2.2.5  拉普拉斯变换

    拉普拉斯变换又名拉式变换。拉普拉斯变换是线性变换，它可以将有引数实数  的函数转化为引数为复数 的函数。拉式变换在天气检测系统、力学系统、自动控制检测系统等领域中有很着非常广泛的应用。掌握这种变换方法对求解微分方程有很大的帮助。具体对其定义如下：

    设函数  ，并且积分  在 的某个区域内收敛，那么我们称 为函数 的拉普拉斯变换。其中， 称为原函数， 称为像函数。若 。

    拉普拉斯变换的几个基本性质：

    ⑴ 线性性质来~自^优尔论+文.网www.youerw.com/

    ⑵ 原函数的微分性质

    ⑶ 像函数的微分性质

3  常见的变换方法

    对于一些微分方程，我们很难直接将其求解出来，在这种情况下我们应该考虑对其进行适当的变换，分离变量，替换变量，交换自变量与因变量地位等变换方法都可以使解题变得容易许多。熟练掌握这种方法，知道其在不同情况下的应用技巧，会使解题变得更加巧妙和准确。

3.1  分离变量法

    分离变量法是求解微分方程的一个重要方法。可进行变量分离的方程的特点是方程的右边是两个独立的一元函数乘积的形式。这种方法的思想是通过一定的变换和变形，将自变量和自变量的微分放在方程的一边，将因变量和因变量的微分放在方程的另外一边，这样就使方程两边便于积分，得到方程的通解。