由双曲线绕其虚轴旋转,可以得到单叶双曲面,它又是一种直纹曲面,由两组母直线族组成,各组内母直线互不相交,而与另一组母直线却相交。人们在设计高大的立塔(如冷却塔)时,就采取单叶双曲面的体形,既轻巧又坚固。

由此可见,对于二次曲线的价值,无论如何也不会估计过高。

1.2  国内外研究现状简介

2  二次曲线相关性质总结

本章节对二次曲线的基本定义、性质进行总结与汇总。

2.1  二次曲线基础知识

2.1.1  二次曲线的定义

从几何角度来看,用一个平面去截一个圆锥面,得到的交线就称为二次曲线。

通常提到的二次曲线包括椭圆,双曲线和抛物线,但严格来讲,它还包括一些退化情形。具体而言:

1) 当平面与圆锥面的母线平行,且不过圆锥顶点,结果为抛物线。

2) 当平面与圆锥面的母线平行,且过圆锥顶点,结果退化为一条直线。                                   图2-1

3) 当平面只与圆锥面一侧相交,且不过圆锥顶点,结果为椭圆。

4) 当平面只与圆锥面一侧相交,且不过圆锥顶点,并与圆锥面的对称轴垂直,结果为圆。

5) 当平面只与圆锥面一侧相交,且过圆锥顶点,结果退化为一个点。

6) 当平面与圆锥面两侧都相交,且不过圆锥顶点,结果为双曲线的一支(另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线)。

7) 当平面与圆锥面两侧都相交,且过圆锥顶点,结果为两条相交直线。

而从代数角度看,在笛卡尔平面上,二元二次方程[1]

的图像是二次曲线。根据判别式的不同,也包含了椭圆,双曲线,抛物线以及各种退化情形。此外还有一种焦点-准线的观点(严格来讲,这种观点下只能定义二次曲线的几种主要情形,因而不能算是二次曲线的定义。但因其使用广泛,并能引导出许多二次曲线中重要的几何概念和性质)。来~自^优尔论+文.网www.youerw.com/

给定一点 ,一直线 以及一非负实常数 ,则到 的距离与 距离之比为 的点的轨迹是二次曲线。

根据 的范围不同,曲线也各不相同。具体如下:

1)  ,轨迹退化为点(即定点 );

2)  (即到 与到 距离相同),轨迹为抛物线;

3)  ,轨迹为椭圆;

4)  ,轨迹为双曲线。

2.1.2  二次曲线的主轴、焦点和准线

基本原理

定义2.1[2] 若   为一复点,则   称为   的共轭复点,简称共轭点,其中 ,分别为 的共轭复数,  和   称为一对共轭点。

    定义2.2[3] 二次曲线一条直径如果平分一组和它垂直的弦,则此直径称为主轴。

定义2.3 两个虚点 , 叫做圆点。凡过一个圆点( 直线除外) 的直线叫做迷向直线(极小直线)。

定义2.4[4] 从 , 两点引二次曲线的切线,共有四条,它们的有穷远点称为二次曲线的焦点。焦点的极线称为准线。

定义2.5[5] 过二次曲线中心且以渐进方向为方向的直线称为二次曲线的渐近线。

定理2.1 定点P关于二次曲线的所有共轭点必共线 。直线 称为 的极线, 称为 的极点.

    定理2.2[6] 无穷远直线的齐次方程为 ( 注意: 无穷远直线无非齐次方程)。

在射影几何中定义的二次曲线的主轴、焦点和准线和解析几何中的定义是一致的。

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