函数是数学分析的研究对象,自然也是复变函数的研究对象,是最基本概念。在实数域中函数定义如下:

定义: 设 是一个给定的数集,如果有一个法则 , 总有唯一的 和它对应,则称 是定义在 上的函数,记作 ,数集 叫做这个函数的定义域。在学习复函数时,自然想到复变函数中的函数定义是否也能如此定义.

在复数域中函数定义如下:

定义:设 是一个给定的复数集,如果有一个法则 , 总有唯一的w和它对应,则称 是定义在 上的复变函数,记作 ,数集 叫做这个函数的定义域.

现在我们已经清楚了实数域中的函数与复数域中函数的定义,那么它们之间有什么样的区别与联系呢,总结起来表现为以下几个方面: 

从两种函数的定义中可以看出,二者形式完全一样,都反映函数的三要素:定义域,对应法则,值域,而且两者的几何意义也未曾发生变化,这体现了函数的本质特性,此外,对一个复变函数 的研究可以转化为对两个二元实函数  的讨论.很多函数的性质是相同的.

但两类函数定义也有很多不同的地方.文献综述

(1)自变量的取值范围发生了变化,实函数 的自变量是实数,它反映两个实数轴 轴和 轴上点集的对应关系;而复变函数 的自变量是复数,映射 把 平面上的点集 映成 平面上的点集 ,因而需要用两个复平面来表示.

(2)某些函数性质发生了变化,如复指数函数 在整个复平面上是以 为基本周期的周期函数,即 ,但实指数函数没有周期性.

通过两类函数的比较,使得学生在学习复变函数概念时,可以从数学分析中函数的概念入手去记忆和理解,了解两者的联系和区别,但是需要注意自变量的范围已经从实数域推广到了复数域.

3 极限 

极限在数学分析中是研究函数的主要工具,在复变函数中也不例外,如何将数学分析中极限的思想转到复变函数上来,二者相互比较联系,能更好地理解极限的本质,下面来看两者的定义.

在数学分析中函数的定义如下:

定义:设 在 的某去心邻域 内有定义,若当 有 ,则称常数 为其极限,记为

在复变函数中函数极限定义如下:

定义:设 在 的某去心邻域 内有定义,若当 有 ,则称常数 为其极限,记为

                          

从二者的定义看出:

二者从表现形式上都反映当其趋于某一定点时,相应的函数值与一个常数之间的逼近程度,即只要 (或 )逼近到 (或 )的 邻域,它们的像 (或 )就会进入 (函数在一点的极限值)的 邻域。此外,研究复变函数的极限问题可以转化为研究两个二元实变函数 (其实部和虚部)的极限的相应问题.

但两者也有很多不同,两者区别主要表现在以下几个方面:

(1)由于两者的逼近方式不同,数学分析中一元函数的极限最多两种逼近方式,然而在复变函数中是平面上的逼近,所以可以是任意方向,从而数学分析中的极限实质上是复变函数极限的特殊情况。与二元函数的逼近方式相似.

(2)此外在无穷远处的极限中两者存在巨大差异,在实数中, 分为 与 ,分别指数轴上两端无限远处的点,然而在复平面上只有唯一的无穷远点 ,主要是由于复球面的北极 与拓广的复平面上唯一的无穷远点形成了一一对应,该无穷远点不但是复平面得唯一的边界点,而且还可以有自己的邻域.

通过两类函数的比较,使得学生在学习复变函数极限时,可以知道复变函数 极限和连续的定义和实函数极限和连续的定义在形式上是一致的,运算法则和性质都相似,因此,理解和记忆都非常方便.

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