摘 要： 本文概括总结了二重积分的计算方法 , 并对一些特殊类型的二重积分的解题技 巧进行了归纳.71446

毕业论文关键词： 二重积分；积分区域；换元法.

Abstract: In this paper , we summarize the calculating method of double integral. At thesame time , we conclude some skills about how to solve some special types of double integral.

Keywords: double integral ; integral domain ; exchange element method.

目 录

1 . 二 重 积 分 概 述 4

2 . 二 重 积 分 的 计 算 5

2. 1 直角坐标系下计算二重积分 5

2 . 2 极 坐 标 系 下 计 算 二 重 积 分 6

2 . 3 广义 极坐标 系下计 算二重 积分 6

2. 4 一般变量变换法计算二重积分 7

3.某些特殊二重积分的计算方法 8

3.1 被积函数的原函数不是初等函数的二重积分 8

3. 2 分段函数的二重积分 9

3. 3 用被积函数的奇偶性与积分区域的对称性计算的二重积分…… 10 结论 12

参考文献 13

二重积分是《数学分析》这门课程的重要内容,正确高效的计算二重积分是基础.本文 从各类二重积分出发,总结简化各类二重积分的计算方法并给出具体例子.

1 二重积分概述[1]

设 D 为 xy 平面上可求面积的有界闭区域, f x, y为定义在 D 上的函数.用任意的曲 线把 D 任意分成 n 个小区域i i 1,2,3, n,以 i表示小区域的面积，这些小区域构成

D 的一个分割 T ,以 di 表示小区域i 的直径，称 T

任取一点 i ,i 作和式

max di 为分割 T 的细度,在每个i 上

称它为函数 f x, y在 D 上属于分割 T 的一个积分和.

定义 1 设 f x, y式定义在可求面积的有界闭区域 D 上的函数. J 是一个确定的数,

若对任给的正数,总存在某个正数,是对于 D 的任何分割 T,当它的细度 T时，属

于 T 的所有积分和都有

则称 f x, y在 D 上可积,数 J 称为 f x, y在 D 上的二重积分,记作

其中 f x, y称为二重积分的被积函数, x, y 称为积分变量, D 称为积分区域. 由二重积分的定义知道,若 f x, y在区域 D 上可积,则与定积分情况一样,对任何分割

T ,只要当 T 时,(1)式都成立. 因此为方便计算起见,常选取一些特殊的分割方法,如

选用平行于坐标轴的直线网来分割 D，则每一小网眼区域的面积   xy .此时通常把

2 二重积分的计算

2.1 直角坐标系下计算二重积分

在直角坐标系下,计算二重积分的基本步骤如下：第一步,画出积分区域的草图；第二 步,确定积分区域为 X 型区域,Y 型区域,若既不是 X 型区域也不是 Y 型区域,则要将积分区 域化成几个 X 型区域和 Y 型区域,并用不等式组表示每个区域；第三步,由第二步不等式组 所表示的取值范围来将二重积分化为累次积分,最后计算累次积分的值.