摘 要：本文根据可逆矩阵的定义与性质，总结了可逆矩阵逆矩阵的几种常用求法，给出了2 2分块矩阵，类三角矩阵， 型矩阵，循环矩阵和范德蒙矩阵等五类特殊矩阵的逆矩阵。

毕业论文关键词：逆矩阵，分块矩阵，类三角矩阵， 型矩阵，循环矩阵，范德蒙矩阵72556

Abstract：In this paper, according to the definition and properties of invertible matrix, the matrices of several commonly used methods about the inverse of invertible matrix were summed up , the five kinds of special matrices’ inverse matrix that the 2 2 block matrix, triangular matrix, zero-one matrix, the cyclic matrix and Vandermonde matrix were gived。

Keywords: inverse matrix, block matrix, triangular matrix, zero-one matrix,circulant matrix, vandermonde matrix 

目   录

1  可逆矩阵的定义和性质4

1。1  可逆矩阵的定义和判定4

1。2  可逆矩阵的性质4

2  逆矩阵的一些常见求法5

2。1 利用定义求逆矩阵 5

2。2 由伴随矩阵求逆矩阵 5

2。3 由初等变换求逆矩阵 6

2。4由Hamilton-Cayley定理求逆矩阵 7

2。5 运用解方程组法求逆矩阵 7

2。6 分解矩阵求逆矩阵 8

3 几类特殊矩阵的逆矩阵 8

3。1   分块矩阵的逆矩阵 8

3。2 类三角矩阵的逆矩阵 9

3。3  型矩阵的逆矩阵 11

3。4 一类特殊循环矩阵的逆矩阵13

3。5 范德蒙矩阵的逆矩阵14

结论17

参考文献18

矩阵是高等代数的一个最基本的概念，而在矩阵理论中较为基础的就是求矩阵的逆矩阵。本文在逆矩阵的一些常见求法基础上，归纳了几类特殊矩阵的逆矩阵，并对此进行研究。

1  可逆矩阵的定义和性质

1。1  可逆矩阵的定义和判定　　

定义1  设 是数域 上的 级方阵，如果存在数域 上的 级方阵 ，使得 ，这里 是 级单位矩阵，则称 是可逆矩阵，称 为 的逆矩阵并记为 ，即 。

　　注1  可逆矩阵 的逆矩阵是唯一的，且 与 为同阶方阵，即 。

定理1  设矩阵 为可逆矩阵，则以下几个命题是等价的,

1) 矩阵 的行列式 ； 

2) 矩阵 的伴随矩阵 可逆； 

3) 矩阵 的伴随矩阵 的行列式 ； 

4) 矩阵 的秩为 ；

5) 矩阵 与单位矩阵 等价(对矩阵 施行初等变换可以使矩阵 转化为单位矩阵 )；

6) 以矩阵 为系数矩阵的齐次线性方程组 的解唯一；文献综述

7) 矩阵 可表示为一些初等矩阵的乘积；

8) 矩阵 的特征值均不为0。　   

1．2  可逆矩阵的性质

设 是数域 上的 级方阵，若 是可逆的，则

（1） 也可逆且 ； 

（2） 也可逆且 ；

（3）数 ，则 也可逆且 ； 

（4） ；

（5）若 级矩阵 也可逆，则 也可逆且 ，则

 ， ，

皆可逆，且

 ；

 ；

（6）若 可逆，又因为 ，则

 ， ,

皆可逆，且

  ,

  。

2  逆矩阵的一些常见求法

2．1  利用定义求逆矩阵

利用定义对于 级方阵 ，存在 级方阵 ，使得 求逆矩阵，这种方法通常出现在关于 的关系式中，可通过恒等变形，变为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式。此时，根据定义就可求出逆矩阵。