该数列前 n 项的和为 Tn

3 高考数列中求通项公式的各类方法

3。1 观察法、公式法 观察法与公式法是解决数列通项公式的最基本的方法。

定义 4[2]：即要抓住题目已知的各项特点，与常见的数列形式相联系进行比较，经过 比较，发现其中的相同点，再通过变形等，探索出各项的变化规律，从而找出各项与项 数 n 的关系，写出通项公式。论文网

定义 5[2]：即当已知数列为等差或等比数列时，只需求得首项及公差或公比，可直接 利用等差或等比数列的通项公式的定义写出该数列的通项公式。

2 2 2 2

例 1 设{ an }是公差不为零的等差数列， Sn 为其前 n 项和，满足 a2  a3  a4  a5 ，

S7  7 。 求数列{ an }的通项公式及前 n 项和 Sn 。 （江苏 2009 年第 17 题第 1 问）

分析 可以通过观察发现，题目需要求数列通项公式及其前 n 项和，已知满足两个关 系，并且还是等差不为零的等差数列，这样就可以直接通过公式的方法来解决。

解 由题意得，可设等差数列{ an }的通项公式

an  a1 (n 1)d ， d 0 。

由 2 2 2 2

化简得 又因为 所以

由上面两个等式可知

所以数列{ an }的通项公式为

a2  a3   a4  a5

2a1  5d 0 。

S7  7 ，

a1 3d 1 。

a1  5 ， d 2 。

an  2n 7 ，

其前 n 项和

S   n(a1 an ) n2 6n 。

n 2

例 2 在各项均为正数的等比数列{ an }中，若 a2  1， a8  a6 2a4 ，则 a6 的值是  。

（江苏 2014 年第 7 题）

分析 题设说明是正数并且还是等比数列，通过观察发现，可以运用等比数列的通项 公式来解决，由此运用公式法，可以得到最后结果是 a6  4 。

解 等比数列通项公式为

因为 a2  a1 q ， a8  a1 q ，

3

a4  a1  q ，

a6  a1  q ，

然后通过代入转化，求出

通过观察法，把题目简单化，再通过公式法，把题目中已知条件转化为所需要的条 件，根据公式的要求把相应的未知数求出来，然后代入，解决问题。 观察法和公式法的 合并用，让问题简单化，使得题目有针对性，让题目更容易解决。

3。2 累加、累乘法 累加、累乘法，顾名思义，就是一个一个叠加起来和一个一个的乘起来，通过变形

转化，使得问题转化成熟悉的形式，再把所求的通项公式求出来。

n1

例 3 已知数列{ an }满足 a1  1， an  3

3n 1

an   。（2003 年全国卷文科第 19 题）

2

an1 (n 2) 。（1）求 a2 ， a3 ；（2）求证：

分析 第（1）小问可直接带入来解决，第（2）小问要先根据题意得到一个数列关系

式，即 an

 an1

3n1 (n 2) ，由此可以利用累加法得到结果。