2  分块矩阵概念和性质

我们在普通矩阵上作分块得到分块矩阵，那么下面对分块矩阵概念符号表示做出准确叙述。应注意本文所涉及的矩阵都是在数域 上。

2。1  分块矩阵的定义与运算

定义1[1]将一个矩阵用若干条横线和竖线分成许多个小矩阵，将每个小矩阵称为这个矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵就称为分块矩阵。

定义2[2]设 是由 行 列子矩阵 所构成分块矩的 阵,表示为

 ,

其中 是一个 × 矩阵，称 为分块矩阵。

在一般矩阵中有些特殊形式的矩阵，例如对角矩阵，上三角矩阵和下三角矩阵等，那么分块矩阵作为特殊形式的矩阵，它也有一些相应的特殊的分块相应地有对角分块矩阵，上三角分块矩阵,下三角分块矩阵。

    对应于一般矩阵已定义了加法，数乘，转置以及乘法运算分块矩阵的运算也与之相一致,分别是加法，数乘，乘法和转置运算。根据文章需要主要介绍乘法运算。

乘法运算所设 ， 都是 矩阵，并且对 ， 用同样的方法进行分块成下式：文献综述

 = ， = 

则 = ，其中 =   

    我们已经学习了一般矩阵初等变换以及初等变换与矩阵乘法的联系。同样我们来探究一下分块矩阵是否有与初等变换相类似的性质。

2。2  分块矩阵的初等变换的性质

    为方便起见，下以 形分块矩阵进行说明，一般分块矩阵可类似说明。

    定义3[3] 由单位分块矩阵经过一次分块初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵。

    以 形式可得分块初等矩阵以下三种形式：               

    一般矩阵已经定义了初等变换，类似的，分块矩阵也有三种基本变换：

    (1)  互换分块矩阵的某两行(列)；

    (2)  用一个非奇异阵（可逆阵）左(右)乘分块矩阵的某一行（列）；

    (3)用一个非零阵左（右）乘分块矩阵的某一行（列）加至另一行（列）上；

    定理  对 × 分块矩阵 作初等行（列）变换时对应于左（右）乘上分块初等矩阵。

    例1 对 进行三种初等行变换。

    解  互换两行   = ，

    第一行乘   = ，

第二行的 倍行加到第一行   。

    以上结果说明对 作分块初等行变换对应于 左乘分块初等矩阵，且可以验证对 作分块初等列变换对应于 右乘分块初等矩阵。

    下面一些性质在后面应用中用到

    引理1   其中 都是 阶矩阵。

    引理2    分别为 阶矩阵， 阶矩阵。

    引理3[4]分块矩阵 ，其中 分别是 形矩阵。

（ ），有结论： 是非奇异矩阵则等价于：分块矩阵 经过有限次初等变换化为 则有 。

    引理5[5] 为 矩阵，将 分成分块矩阵，且行分法与列分发一致，则可将分块矩阵子块看作元素所成的一般矩阵所对应的合同变换三种形式相同，只是这里矩阵元素是小矩阵。则成为分块矩阵的合同变换。来*自-优=尔,论:文+网www.youerw.com

    引理6[5] 为 矩阵，将 分成分块矩阵，且行分法与列分发一致，经有限次分块矩阵的合同变化得到 ，那么 与 合同。

    引理7[6]以下几个是关于矩阵秩的几个关系式，其中 ,