说明：在一个等差数列中，有几项成等比数列，求数列的通项公式。这样类型的题目是很常见的。熟练的运用等差数列和等比数列的定义，将条件所给的每一项用 来表示，然后利用条件所给的关系求出首先公差即可。

等差数列的性质和等比数列的性质是等差数列等比数列的概念的拓展。运用等差数列和等比数列的性质往往可以回避对首相和公差或公比的求解，让求和问题得到整体的解决，使运算变得更加快捷。下面我们来看看等差数列和等比数列的性质有哪些？又有怎样的运用？

2。2 等差数列和等比数列的性质

    等差数列的性质归纳：

性质1 在等差数列 中若 都为正整数，且 ，则 。

性质2 等差中项性质，如果 成等差数列，那么 为 与 的等差中项，且 。

性质3[2]在等差数列 中, 为 的前 项和， 成等差数列。

性质4 如果 都是等差数列，那么 也是等差数列 都是实数。

例3 已知  成等差数列，求证  也成等差数列。来*自-优=尔,论:文+网www.youerw.com

分析：证明一组数为等差数列，一方面基础的我们要考虑这组数是否符合等差数列的定义，而最常见方法的是用等差数列的等差中项性质证明。

证明  因为  成等差数列，          所以 ，          所以  。        下面我们用作差法证明 符合等差中项性质。 

所以       所以 ， 因此  成等差数列。

   例4 在等差数列 中，前 项和为 ，已知 ，则求 的值。

分析： 这三个数分别相差8由已知条件可以轻松求出公差 ，再用等差数列性质整体求出 。

解  因为 ，

两式相减： ，

        所以 。

所以  成等差数列。

所以 ，

所以 ，

所以 。

说明：数列性质的应用可以避免对首相或公差的求解，用整体的思想来解决问题。

等比数列的性质归纳：

性质5 如果 都是正整数，且 ，那么 。

性质6等比中项性质，如果 成等比数列，那么 为 与 的等比中项，且 。

性质7 在一个等比数列 中，前 项和为 ， 成等比数列。

性质 8 如果  成等比数列，那么  也成等比数列， 为实数。

例5 各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ，求 的值。