推论2。1  , 。 

在定理2。1和定理2。2的证明中, Sandor C使用了解析数论的一些估计的办法。在定理2。3的证明中, Sandor C则综合运用了解析数论中的方法和组合数学中的研究技巧。

对这一问题, Erdos, Graham, Spencer提出了下列猜想(这一猜想现已被否定)。

猜想2。1  , 。 

    他们也给出例子说明 , 。

例2。2  。

此后的研究中,研究者主要的思路是希望证明 Erdos-Graham-Spencer猜想是正确的,在研究方案上则比较多的运用解析数论方法和组合技巧逐步缩小 的上界。其中最新的重要研究结果是南京师范大学的陈永高教授和其合作者在[1],[4]中给出的。来*自~优|尔^论:文+网www.youerw.com +QQ752018766*

定理2。4  ,   。

定理2。5  ,   。

    但是这样的研究进展艰难并且缓慢。在试图部分证明Erdos-Graham-Spencer猜想时,使用归纳法和解析技巧,陈永高教授还给出了这一结果:

定理2。6 如果对 和最大值 的正整数序列, Erdos-Graham-Spencer猜想是正确的, 那么对所有情形Erdos-Graham-Spencer猜想都是正确。

    但是在2008年,郭嵩老师在[5]中指出Erdos-Graham-Spencer猜想是错误的。他给出了一个反例,并由此得到: