2。不等式在数学竞赛中的应用分类与研究

  为了使高中数学竞赛能够在高中数学知识衔接地基础上，发挥更大的作用，2006年，中国数学学会在教育部制定的《全日制普通高级中学数学教学大纲》的精神和基础上，重新修订了《高中数学竞赛大纲》以适应当前形势的要求。全国高中数学联赛一试所涉及的知识范围不超过教育部2000年的《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学内容和要求，但在方法的要求上有所提高。全国高中数学联赛二试（加试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容，整个大纲中涉及到不等式的内容是“几何不等式、三角不等式、平均值不等式，柯西不等式等不等式”，其中几何不等式属于几何部分，后几者都属于代数部分。主要考察的题型有填空题,应用题和证明题。本文则致力于从不等式问题的解决手段上，对于以上几类基本的知识点的应用进行分析，对于不等式问题的解决的方法和思维研究提出一定的思考。

2 数学竞赛中解不等式的问题

不等式就其解题方法而言，一般都是以一元一次，二元二次不等式的解法为基础，等价变形为关键。解指数，对数不等式要等价变形为代数不等式；若代数不等式为无理不等式，则需要等价变形为有理不等式，若有理不等式为分式不等式，则需要等价变形为整式不等式，若整式不等式为高次不等式，则需要等价变形为一元一次或一元二次不等式组。[ ]

2。1 高次不等式

例1  不等式 的解集为_________。（2013年全国高中数学联赛广东省赛区预赛）

解   

原不等式等价于 

设 ，则 在R上单调增。

所以，原不等式等价于 

（说明）高次不等式可用“穿针引线法”， “穿线法”需注意以下几点 : ① 零根从左往右逐渐递增 ②每个因式的次数为奇次幂 ③每个因式中未知数的系数必为正 ④从右始终是往下穿 。

2。2 无理不等式文献综述

例2  满足 的实数 的取值范围是           ．（2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题）

解  用图像法：令 ，此为单位圆的上半圆，它与直线 交点 ，半圆位于交点左侧的图像皆在直线 上方；或者三角函数代换法：

因 ，令 ，则 ，由条件式 ，平方得 ，则 ，又有 ，因此 ．

（说明）如果直接用无理不等式的方法求解，过程较为繁琐，运用数形结合思想构造半圆和直线，使题目形象直观，更加简便。

2。3 含绝对值的不等式

含有绝对值的不等式经常用“分段法”,但最后一定要把各段求得的解集合并。

例1  不等式 的解集为                 。（2014年福建省高一数学竞赛试题）

【答案】 

解 不等式化为 ……… ①；或       ……… ②

由 ，得 ，由于函数        为增函数，且 。

所以，不等式①的解为 。

由 ，得 。

设 ， 。

如图，在同一坐标系内作函数 与 的图像，它们有两个交点 ，       ( )，其中 ， 。

所以，②的解为 。

由①、②可知，不等式的解集为 。

2。4 指数，对数不等式

指数（对数）不等式的解法是利用指数（对数）函数的性质将不等式转化为一般的不等式求解．转化的关键是利用指数与对数函数的单调性将不等分解成若干个一般不等式组成的不等式组，通过解不等式组来求解指数与对数不等式。求解对数不等式时，由于对数函数定义域的限制，转化时一定要注意其等价性．[ ]