由于科学的迅速发展以及社会的进步和生活的日新月异，高等代数作为一门常用的基础工具学科目前已经向所有的领域逐渐覆盖，人们对它在各方面的应用也越来越注重。在学习过程中有关特征值问题又是研究矩阵理论的一个十分重要的部分，所以对特征值算法的研究具有十分重要的理论意义和实践意义。数学学习、建筑类还有许多科学研究中都会使用到怎样能够准确求解矩阵特征值的一些方法。本文目的在于对矩阵广义特征值的性质和应用方面进行简单的总结，然后简单地了解求解特征值和特征向量的几种方法，在解决一些生活中有关的复杂问题时可以简单的解决。

1。3研究方法

1、观察法：通过在资料书和图书馆查询了解矩阵广义特征值的相关知识，进行仔细观察,反复研究。

2、资料参考法：通过阅读、网络搜集并整理相关信息，然后得出自己的结论，进一步加深并概述矩阵广义特征值的性质与应用。

3、实际运算法：通过阅读，掌握一定的解法和技巧，并做一些经典例子，了解相关性质。

第二章 矩阵广义特征值概述

2。1   特征值的定义

定义 设是数域中线性空间上的线性变换，假设在数域中有数并且中有非零向量，就可以得到

是的特征值，是特征值的特征向量。

2。2   广义特征值的定义

  定义2。2。1  在现代许多物理的应用的理论当中，我们经常遇到下面这种类型的广义特征值问题，通过求解得出数，能够满足

                                                        （2。1）

同时也存在非零的解。

：阶实对称矩阵；：阶实对称正定矩阵；：维列向量。

当时，上面的等式就变成了求解普通矩阵特征值的问题，因此上面的这个等式一直作为求解矩阵普通特征值问题的典型。

所有形式上和上面这种等式相似的问题，我们把有关这样的矩阵和的问题叫作广义特征值问题。满足（2。1）里要求的数被称作矩阵相对于的一个特征值。另外，属于但不为零的解被称为的特征向量。文献综述

 定义 2。2。2  如果是对称的正定矩阵，就将所求得解当中二次型矩阵向量叫作，的内积。另外，向量被叫作正交的，但需要满足这个条件。记作。我们一般称呼经过这个内积推出的数叫作范数：

如果一组向量正交，与此同时范数刚好是的话，就把这组向量称为是正规化的。

 定义 2。2。3  假如矩阵符合

这里的为对角矩阵，那么则称是正交的。当时，那么则把称为单位正交。

定义 2。2。4 假设有矩阵束，那么相对向量的商就是

为了便于记忆，通常都将商简写成的形式。

2。3广义特征值问题等价形式

假如正定，这样就可以把等式直接变成两种不同但是却等价的形式。

第1种：让乘两端的左边，这样可以得到

我们就能把复杂问题变成矩阵这类简单求解问题。和都是对称矩阵，却通常都不对称。

第2种：矩阵分解得到等式，是一个下三角矩阵。则(2。1)就变化成