2  函数的凹凸性

在近几年的高等试题中常常出现函数凹凸性问题，这类题目能够考察学生的创新能力和数学素养。利用好函数的凹凸性可以帮助学生掌握函数图像并且可以帮助学生化解一些难题。所以首先要理解并熟悉函数凹凸性的定义，关于函数凹凸性的定义又不单一，若干种关于函数凹凸性的定义值得研究。

2。1  函数凹凸性的定义

有一些函数的图像是向下凸出的（凸的），而有一些函数的图像是向上凸的（凹的），以下以凸函数为例，通过其图像容易发现，我们在曲线上任意取两个不同的点和以它们为端点的直线段总是位于曲线的上方。由于在区间中的任意一点都可以表示成，必定大于它与曲线交点的纵坐标，因此我们有下面几种关于凸函数的定义。

定义1[1] 如果函数在区间内的任意及，恒有，

则称为区间上的凸函数．

定义2 设函数是定义在区间上的函数，如果对于上的任意两点恒有：

（1），则称为上的凸函数,

（2），则称为上的凹函数。

定义3 如果函数在区间内可导，并且对于区间内的任意及，恒有，

则称为区间上的凸函数．

注 定义1的几何意义是：凸函数的曲线上的任意两个点之间的割线一直在曲线的上方．定义2的几何意义是：凸函数的曲线上的任意两个点间割线的中点一直在曲线上相应点(具有相同横坐标)的上方．定义3的几何意义是：凸函数的曲线上的任意一点处的切线，总是在曲线的下方．文献综述

以上的三种定义，定义3要求在内要可导，定义2则要求在上是连续的，然而定义1对函数却没有特别的要求．实际上可以证明在定义1中，函数在上是连续的．而定义1和定义2两个定义是否要求函数是可导的，则没有提出．若加上可导的条件，则可以证明三种定义的等价性． 

关于凸函数三种定义的等价性进行证明及讨论。

定义1与定义2之间的等价性（定义1定义2）。

分析 先由定义1作为已知条件，证明定义2是成立的。这里取根据定义1的公式，取的话很容易得到定义2是成立的。对于由定义2已知，证明定义1，可以分别讨论为有理数时和无理数时的情况。

定义1定义2

   证 取，带入，得即定义1推得定义2。

定义2定义1当为有理数时, 对于任意的,证明不等式

，

对于此有理数，总可以表示为有穷二进位小数，即

其中或1，,为有理数，那么（）也是有理数，所以也可以表示为有穷二进位小数，即

其中或1，，由于，于是所以当为无理数时，下面再论证对于定义1也成立．

事实上，对任意无理数，存在有理数列，所以

，由于在内连续，所以 ．

综上论述，定义1与定义2等价性可证．

定义1定义3

证 定义1 定义3

对内任意的及，若，则取，使．于是，可以得到

，上式中令，由于可微，所以有即．

若，则取，使，同理可证．

定义3定义1对于区间内的任意（不妨设）以及，令，则有

由泰勒公式，得及，其中，于是

最后根据等价的传递性便可以知道定义2与定义3也是等价的．

2。2  函数凹凸性的判别方法来-自~优+尔=论.文,网www.youerw.com +QQ752018766-

定理1[2] 设为区间上的二阶可导函数，则在上为凸函数的充要条件是，．

下凸（上凸）函数一个明显的特征就是若 其二阶可导，则函数的最大值（最小值）必在区间I的端点处取到，这是解题中不容易忽视的。