随机变量函数分布的研究(2)
1.预备知识
1.1 一文随机变量分布函数
定义 设 是一个随机变量，对任意实数 ,称
为随机变量 的分布函数，且称 服从 ，记为
1.2 分布函数 的三条基本性质
（1）单调性： 是定义在整个实数轴 上的单调非减函数，即对任意的 ,有 .
（2）有界性：对任意的 ，有 ,且
（3）右连续性： 是 的右连续函数，即对任意的 ,有
2.一文随机变量及其分布
2.1离散随机变量的概率分布列
定义 设 是一个离散随机变量，如果 的所有可能取值是 , ,... ...，则称 取 的概率
为 的概率分布列或简称为分布列.记为
2.2连续随机变量的概率密度函数
定 义 设随机变量 的分布函数为 ,若存在实数轴上的一个非负可积函数 使得对任意实数 有
则称 为连续随机变量，称 为 的概率密度函数，简称为密度函数.
密度函数的基本性质
（1）非负性：
（2）正则性：
3.一文随机变量函数分布
3.1离散随机变量函数的分布
设 是离散随机变量， 的分布列为
表1则Y=g(X)也是一个离散随机变量，此时Y的分布列就可很简单的表示为
表2 当 ， ，…， ，…，中有某些值相等时，则把那些相等的值分别合并并把对应的概率相加.
例 已知随机变量 的分布列如下，求 的分布列.
表1
-2 -1 0 1 2
0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
解 的分布列为
表2
2 0 0 2 6
0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
再对相等的值合并，得
3.2连续随机变量函数的分布
3.2.1 公式法
当 为严格单调函数时
设 是连续随机变量，其密度函数为 . 是另一个随机变量，
若 严格单调，其反函数 有连续倒数，则 的密度函数为
其中 .
例1 设X是区间 的均匀分布， ,求 的密度函数。
解 的值域为 ，反函数为：
则X的密度函数为：
3.2.2 分布函数法
当g(x)不是严格单调函数时，可用分布函数法
例2 若 的密度函数为 ,试求分布函数 ( ).
解 由题意可知，
所以得
当 时， ;
当 时，
故 的分布函数为：
4．多文随机变量及其函数分布
4.1联合分布函数定义 对任意的 个实数 , ,... ,则 个事件 , ，..., 同时发生的概率
称为 文随机变量 的联合分布函数.
基本性质
（1）单调性： 分别对 或 是单调不减的，即
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