论旋转曲面面积的计算方法(2)
2.旋转曲面面积的计算方法
根据旋转曲面的定义，我们知道旋转曲面是由曲线绕定直线旋转一周所生成的，若由曲线的分类来对旋转曲面进行分类，旋转曲面可分为由平面曲线绕定直线旋转生成，和由空间曲线绕定直线旋转生成.下面我们分别就这两种情况讨论旋转曲面面积的计算方法.
2.1平面曲线绕直线旋转所得旋转曲面的面积计算方法
2.1.1平面曲线绕坐标轴旋转
定理3[3] 设平面光滑曲线 的方程为 , [a,b]（不妨设 )，则这段曲线绕 轴旋转一周得到的旋转曲面的面积为
. (1)
定理4[4] 设 面上的光滑曲线段
绕 轴旋转一周得到旋转曲面 ，函数 在 上连续，则有
可以看出，定理4应用了曲面积分与曲线积分相结合的方法，当 时，就得到
绕 轴旋转一周所得旋转曲面 的面积
定理3,4都适用于求解平面曲线绕坐标轴旋转所形成的旋转曲面面积，在应用定理3时，我们要注意确定定积分中变量和变量的取值范围.定理4可以使我们更加熟练地应用曲面积分计算.
2.1.2平面曲线绕该平面上任一直线旋转
定理5 设 是平面上一条光滑曲线，绕直线 旋转一周得到旋转曲面，则此旋转曲面的面积
(3)
证 我们可以按照定理3那样，用微元法证明该定理.因为 上任意小区
间的小截锥面积约等于小旋转曲面面积，由古鲁金定理可以得到 ,
其中 是曲线上点到定直线的距离，所以
定理5中所给出的方法适用的范围比较广泛，只要是求解平面曲线绕定直线旋转所得旋转曲面的面积，我们都可以将曲线与旋转轴的方程化成定理中所要求的形式，然后带入公式计算.
2.1.3平面曲线绕任意过极点的直线旋转
情形一：绕极轴的旋转曲面面积
定理6[5] 设 有连续导数，而曲线段 位于极轴的同侧，则 绕极轴旋转一周所得旋转曲面的面积为
(4)
情形二：绕 的旋转曲面面积
定理7[5] 设 有连续导数，而曲线段 位于 的同侧，则 绕 旋转一周所得旋转曲面的面积为
(5)
定理6,7是比较特殊的情形，当题目中以极坐标的形式给出平面曲线方程时，我们就可以根据情形不同，直接带入公式(3)或(4)进行计算，比较方便.虽然公式(2)也适用，但是比较麻烦.
2.2空间曲线绕直线旋转所得旋转曲面的面积计算方法
2.2.1 微元法
定理8[1] 设空间中的一条直线 : ,直线外有一点 ,设直线上一点 ，则 到直线 的距离为
证 作平行四边形 ,其中向量 是直线 的方向向量,
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