之前人们都在这方面做了一些研究,这篇文章主要是通过研究特征值和特征向量的一些理论和性质,来解决一些矩阵问题,以及对这些理论和性质的应用和推广,使得一些数学问题得到很快的解决。

 1 关于矩阵的特征值和特征向量的一般性理论

 对于转化成数学多项式组后,可以根据其相应的矩阵的特征值和特征向量来求解,下面我们就来了解一下它的一般特性。

定义 假设是数域上的一个阶方阵,有一个数和一个不为零的维列向量,

则称是矩阵的一个特征值,向量称为矩阵关于特征值的特征向量．

我们知道了如何找一个特征值与特征向量的办法,找出是在维线性空间上的一组基（是数域）,那么在这组基下的线性变换矩阵就是。 假设是的一个特征值的一个特征向量在下的坐标。 则由, 这就说明了特征向量的坐标满足齐次方程组   

即  因为, 是它的一个不全是零的坐标,所以齐次线性方程组也就有非零的解。齐次线性方程（1）的系数行列式是零是它有非零解的充分必要条件,也就是

我们引入以下定义。

定义设是数域上的一个级矩阵,矩阵的行列式

称为的特征多项式,这是数域上的一个次多项式。

通过以上的分析我们可以知道,要是是矩阵的特征多项式的一个根,则它就是有非零解的充分必要条件;若是反过来,如果齐次线性方程组（1）式就有非零解则在数域中是矩阵的特征多项式的一个根,也就是。那么要使是方程组（1）式的一个非零解,则非零解向量文献综述

适合（1）式,也就是就属于线性变换的一个特征值的一个特征向量．

要想确定一个线性变换的特征值和特征向量,就要分为以下几个步骤：

1。写出在线性空间中所取一组基矩阵;

2。求出矩阵的特征多项式在数域中所有的根,这些根也就是线性变换的全部特征值;

3。把所有得的特征值一个一个代入到方程组（1）式,那么对每一个特征值,解出方程组（1）式,求出它的一组基础解系,它们就是这几个线性无关的特征值的特征向量在基下的坐标,也就求得了每一个特征值的所有线性无关的特征向量． 

例1 设在基，，下线性变换的矩阵是

求的特征值与特征向量．

解:因为特征多项式为 ,

所以特征值-1（二重）和5．

把特征值-1代入到齐次方程组中得到它的基础解系是  因此,属于-1的两个线性无关的特征向量就是

那么，，就是－1的全部特征向量,取完数域中不全是零的所有数对。再把它的特征值5代入,得到

，

那么的基础解系就是,则5的一个线性的无关的特征向量为,而就是5的所有特征向量 (是数域中任意不等于零的数)．

 例2 在空间中,线性变换来:自[优E尔L论W文W网www.youerw.com +QQ752018766-

在基下的矩阵是的特征多项式是

所以0是的特征值,经过解的相关的齐次线性方程组,我们可以知道特征值0的线性无关的特征向量组是任一非零常数。也就是零或非零常数是微商为零的多项。