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(a) 信号时域波形 (b) 短时傅立叶变换（65点hamming窗）
图2.2信号时域与短时傅立叶变换
2.3 双线性时频表示
所谓双线性形式，是指所研究的信号在时－频分布的数学表达式中以相乘的形式出现两次。Wigner-Ville分布（WVD）是最早提出的一种双线性时频分布，其他的双线性时频分布可以看做是WVD的加窗形式。WVD具有高分辨率、能量集中性和满足时频边缘特性等许多优良特性，也是一种较为理想的时频分布。本节将重点讨论Wigner-Ville分布以及它的各种改进分布。
2.3.1 Wigner-Ville分布的定义
对于复信号 ，其WVD定义[11]如下：
（2.3.1）
同时，WVD也可以用 的频域形式表示：
（2.3.2）
式（2.3.1）可以看作是 的自相关函数 对 的傅立叶变换。式（2.3.2）中的 是 的傅立叶变换。
WVD可以理解为：每一个时刻t所对应的频谱，是以这一时刻为中心，将信号在这一时刻左右两侧的所有部分对摺相乘，然后对相乘后的结果作傅立叶变换而得到的。
同许多其它信号处理算法一样，最终目的是要将它们应用于科研或工程实际，这时所遇到的问题同样是信号的离散化及数据的有限长问题。WVD的离散形式如下：
（2.3.3）
其中， 、 和 分别是离散时间、频率和滞后坐标， 是 自相关函数的离散形式。
2.3.2 Wigner-Ville分布的性质
Wigner-Ville分布具有许多优良的性质[12][ ][ ]：
（1）实函数（2.3.4）
WVD总是实的，利用这一性质，在计算WVD时，可以改进算法而减少一半的工作量。
（2）边缘分布
由式（2.3.5）可知信号 的WVD沿频率轴的积分等于该信号在 时刻的瞬时能量。式（2.3.6）则表明WVD沿时间轴的积分等于在该频率处的瞬时能量。由此可看出WVD具有能量分布性质。
（3）WVD的运算性质
1．移位： （2.3.7）
2．调制（频移）： （2.3.8）
3．时间尺度： （2.3.9）
4．信号相乘：（2.3.10）
上式表明，两信号乘积的自WVD是等于两个信号自WVD在频域上的卷积，这意着，对信号进行加窗截断时并不影响时域的分辨率，只影响其频域。
5．信号相加：
由上式可知，两相加信号的自WVD并不等于两个信号自WVD之和，式中的 是 和 的互WVD，也即通常所说的交叉项，这是限制WVD应用的一个严重缺陷。
（4）条件矩
将时间固定来求这一时刻的瞬时频率，被称为一阶条件矩:（2.3.12）
为瞬时频率，即满足：（2.3.13）
其中 表示信号相位的导数。可以利用上式进行信号瞬时频率的估计，从这一角度来看，瞬时频率可解释为对于给定时刻所有频率分量的平均。
2.3.3 改进的Wigner-Ville分布
对于单分量线性调频信号，WVD具有理想的能量聚集性。但是由于其交叉项的存在，对信号的分析造成较大干扰，为此提出了许多改进的时频分布形式。
（1）伪WVD（PWVD）和平滑WVD(SPWVD)
伪WVD和平滑WVD的思想是对WVD时域或频域进行加窗平滑，从而减少其交叉项。
伪WVD是对WVD进行时域加窗平滑，其定义如下：
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