在阐述信号重构算法之前，对于一个长度为 的向量 的 范数先作如下定义：  。不难发现，当 时，向量 的0范式就表示 中非零项的个数。

　　有了 范数的定义，很快就能发现对于欠定方程 ，如果添加一个约束条件 ，就是在解空间中寻找非零元素个数最少的系数向量 ，这样就能求出 的最稀疏解了。感觉似乎可行，但是再仔细观察发现：为了求得稀疏系数，需要对系数 中（稀疏度为 ）的所有非零元素的可能组合（共有 种排列）进行穷举，并且数值计算极不稳定。当原始信号 长度较大时，非零项可能的组合数目将是一个天文数字，故运用0范式约束方程来求解 不可能在实际应用中实现。很快，人们发现，可以通过1范式约束，来对方程进行约束，可以得到和0范式约束同等的解，即：  s.t  。这样，问题就很容易的转化为了线性规划问题。但是，此方法也并非完美无缺的：只有在很严格的条件下，1范式约束·和0范式约束才能得到共同的最优解。通常情况下，运用1范式所求得的解误差过大，并且该方法不易区分出稀疏向量中非零元素的位置。虽然，运用1范式约束所需的观测点较少，但是在重构过程中巨大的运算量以及较高的计算复杂度对系统功能也提出了严格的要求。由于这些缺陷的存在，直接扼制了它在实际运用过程中的价值。

　　有了理论指导，构造算法也就变得切实可行。比较具有代表性的算法是基追踪算法(BP)。BP算法以1范数规范为基础，用1范数的最小投影向量作为方程的最优解来重构出原始信号。使用BP算法所需的观测次数较少，但是计算复杂度很高，在实际应用中具有一定的难度。

　　方法永远是多种多样的，另一类算法则避开范数规范问题，以贪婪算法的思想为指导，在每次的重复迭代运算中选取最优解来逐步刻画出方程的最稀疏解。正交匹配追踪算法（OMP）是其主要的代表算法。它的计算复杂度要低于BP算法，但是对于原始信号重构的准确性就略逊一筹。但是由于OMP算法对于硬件系统的要求较为宽松，因此在实际操作中更容易进行，在本次的试验中，采用了OMP算法对信号进行了重构。

2.4  压缩感知的数学模型

　　前面仔细阐述了压缩感知理论对于稀疏（或可压缩）信号的处理流程，这里采用简单的数学语言归纳出CS理论对信号的处理步骤。

　　(1)对于一维，长度为 的实离散序列 ,寻找某组 的正交基  ( 为列向量)，将 在此基底空间中分解得到稀疏系数向量 ，即 。

　　(2)在满足非相干性和限制等距条件下建立 行 列观测矩阵 ，观测矩阵满足条件 ， 。并由此得到观测向量 。将信号 在 中进行线性投影得到 个观测值，原始信号的全部信息就包含在这 个观测值中。来!自~优尔论-文|网www.youerw.com

　　(3)在 ， 和 已知的情况下，再选择合适的恢复算法，就可以求出系数向量 的最稀疏解。

(4)利用等式 重构出原始信号。

由上文所述，CS实现的关键是设计观测矩阵及发展有效的信号重构算法。本文主要研究针对模拟信号采样的CS观测矩阵设计。我们将在下一章中详细阐述。

3  基于随机解调的模信转换

本章介绍基于随机解调的模信转换系统[6,7]。该系统可实现模拟信号的低速采样和重构。我们注意到，传统CS理论是针对离散信号发展的，而模信转换则将CS理论扩展到了模拟信号中。因此，如何设计线性随机投影将模拟信号映射到低维采样空间是实现模拟信号压缩采样的关键。图1中给出了随机解调的基本结构，下文详细阐述其工作原理。