(3.4)
式中方括号内各项及所有的fi0都是时间t的已知函数。
3.2.2运动方程组的线性化
     为了使线性化后的扰动方程比较简单,对未扰动运动做如下假设[16]:
(1)    未扰动运动中侧向运动参数 和侧向操纵机构偏转角 及纵向参数对时间的导数 均很小,有关量可略去;
(2)    未扰动飞行中,偏导数 为一小量;
(3)    忽略弹体结构参数偏量 ,大气压强偏差 ,大气密度偏量 ,坐标偏量 对扰动运动的影响。
(4)    所研究的制导炮弹为轴对称型。
根据微分方程线性化方法以及上述假设,可将方程组(2.6)线性化为:
 (3.5)
式中的上标表示对上标参数求导,Fgx、Fgy、Fgz是引入的由于干扰作用产生的干扰力,Mgx、Mgy、Mgz是干扰力矩。这就是线性化后的扰动方程组。
3.3制导炮弹的纵向扰动方程
在扰动运动中,如果干扰作用或俯仰操纵机构的偏转仅使纵向运动参数有偏量,侧向运动参数仍保持未扰动飞行时的数值,这样的扰动通常称为纵向扰动运动;如果仅侧向运动参数有偏量,称为侧向扰动运动。
在对制导炮弹进行动态特性分析时,对纵向扰动运动和侧向扰动运动可以分别独立进行,但必须满足以下几个条件[18]:
(1)    炮弹相对纵向平面O1x1y1对称;
(2)    运动参数对其未扰动值的偏量足够小;
(3)    在未扰动飞行中,侧向运动参数和纵向运动参数对时间的导数值足够小。
本论文主要研究制导炮弹的纵向扰动运动。
从式(3.5)可以看出扰动方程组可以分为两个独立的方程组,一组是描述纵向运动参数偏量 的变化;另一组是描述侧向运动参数偏量 的变化。因此可以得到制导炮弹的纵向扰动方程式:
   (3.6)
公式(3.6)中可以看出,变量有运动参数偏量 。其中,偏量 不包含在其他方程里,可以把描述这两个量的方程独立出来,这样纵向扰动方程组变为:
       (3.7)
现在引入方程系数的简化表示符号,纵向扰动方程可以改写为:
        (3.8)
系数 称为动力系数,用来表征制导炮弹的动力学特性,相应表达式如下:
        几个常用动力系数的物理意义如下[16]:
 表征制导炮弹的空气动力阻尼。 表征制导炮弹的静稳定性。 表征升降舵的效率。 表示弹道倾角偏量为一个单位时,由于重力所引起的弹道切线转动角速度的偏量。 表示攻角偏量为一个单位时,所引起的弹道切线的转动角速度偏量。 表示操纵机构偏转一个单位时,所引起的弹道切线转动角速度的偏量。 表征气流下洗的延迟对俯仰力矩的影响。
3.4本章小结
本章首先介绍了求解非线性微分方程的一种方法——小扰动法;然后应用小扰动法对微分方程进行了线性化研究,实现了制导炮弹运动方程组的线性化;接着介绍了扰动运动的有关概念,将扰动运动分解为水平面内的侧向运动和垂直面内的纵向运动,得出了纵向扰动方程组,并引入了动力系数的概念。
4 制导炮弹的纵向动态特性分析
研究动态性质,一般先研究弹体受到偶然干扰作用时,未扰动运动是否具有稳定性,这就要求分析自由扰动运动的性质;除此之外,还要研究弹体对控制作用的反应,也就是操纵性问题,分析过渡过程的品质。
4.1 纵向短周期自由扰动
4.1.1 短周期自由扰动
制导炮弹的自由扰动运动可以分为两个阶段,第一阶段是快衰减的短周期运动,第二阶段是慢衰减的长周期运动。当设计制导炮弹及其制导系统时,只研究扰动运动的短周期阶段。因为控制飞行必须控制法向力,而控制法向力是通过改变攻角和侧滑角来达到的,攻角实际上仅在短周期内变化[19]。
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