通过时刻表周期性变化，日本与西欧的学者对该问题展开研究。周期性变化，就是指在 每一段相同的时间内，就是所谓的周期，具有相同的运行模式:列车在各个周期具有一样的运 行时间，同时，运行策略、列车数量及等级均一样。因为列车时刻表是灵活科学制定的，便 于游客出行，并且制定某一周期内的时刻表，即可实现全部编辑，效率得到大大提高。 

荷兰铁路公司率先在轨道交通中使用周期性的时刻表。Serafmi 与 Ukovich[35]结合前人对 编制周期性时刻表的成果，对“周期事件安排问题”展开深入探究，以便总结出在周期中合 理规划事件的方案。Voorhoeve[36]是首位在制定荷兰轨道交通列车周期时刻表时引进 PESP 的 研究学者，同时开创求解模型，充分考虑了轨道列车运行过程中的各个约束条件，主要包括 列车间安全距离、区间运行时间、列车站点停靠时间等。紧接着，Schrijver[37]改进了 Voorhoeve 的模型，并设计了 CADANS (Combinatorial Algebraic Timetable Algorithm for the Duth Railways)算法，在保留了所有 PESP 的约束条件下，计算推导出 NS 各站的可行性时刻表。由 于这一研究成果的出现，CADANS 成为了 NS 计算推导最合理时刻表所不可缺少的算法。

Natchtigall[38]设定乘客换车其他铁路停留的时间为目标函数，基于轨道交通的现状，运用贪 心算法以及遗传算法，设计轨道交通时刻表模型，最终解出答案。接着，Natchtigall[39]在之 前的研究成果的基础上进一步为了减少旅客在换乘车站的等待时间和轨道交通投资费用，同 时以这两个要素为目标函数，建立多重目标优化模型，此外，为解决该多目标文化问题，设 计了含有模糊逻辑的混合遗传算法进行精确求解。Narayan[40]结合了印度轨道轨道交通的实际 情况，分析了周期性运行图。 

国内学者也纷纷开始研究如何优化列车运行时刻表的问题。曹家明[41]利用调图将列车正 点率列出来，以最高点建里目标函数，并建立任意选择约束条件的现行规划模型，进而运用 对偶法解出答案。然后，曹家明[42]基于已有的研究，把单线的对偶算法和规划模型逐渐演变 成双线，也逐渐将研究范围拓宽至双线轨道交通列车运行调整问题，取得了一定的研究成果。 孙焰、李致中[43]基于单线区间，确立车站接续最佳目标，构建列车最优次序模型，在求解中 充分利用了分支定界法。聂磊等人[44]对各个等级的列车运行图辅画问题展开研究，运用有效 时刻插入法、有效时间链法和回溯搜索法、自动阶段移线法对这个问题进行求解。杨立兴等

[45]为了减少乘客旅游时间和列车延迟时间，并取这两个因素的最小化为目标，构建了多目标

规划模型，同时将模糊变量，即上下车乘客数量引进模型中，接着利用分枝丁界法对模型进 行求解。宿帅等人[46]研究出在区间内列车最佳驾驶方案，以充分降低能量消耗，实现轨道列 车运行能耗最小的没目标，进而制定出最佳时刻表。李想等人[47]根据速度各异的不同列车的 差别，对服务质量作出评价，同时实现列车优质服务、高效运营、良好运营效益的多重目标 基础上，构建列车时刻表优化模型。此外，国内学者还重点研究了列车时刻表运行图模拟仿 真领域的内容，最为典型的就是李克平，他[48]在绘制列车时刻表运行图问题上应用了元胞自 动机模型。然后，他又[49]构建列车追踪模型，对列车运行展开深入研究，进而总结出列车时 刻表的影响因素，有利于为将来轨道交通时刻表制定优化方案提供可借鉴的理论基础。另外， 他还[50]以优化列车时刻表问题为研究课题，构建随机行走模型对列车运行状态进行模拟，对 列车到发车站的时间进行确定，最终画出运行图。