（1）Inoue等的耦合混沌神经网络模型

1991年Inoue等人用耦合混沌振子作为神经元，构造混沌神经网络模型[8]。耦合混沌振子的同步或异步分别对应神经元兴奋或静息两个状态[9]。混沌虽然由简单的确定规则产生,但它包含规则和不规则两个方面[10]。耦合混沌振子的同步来自规则特性,而不规则特性可以产生随机搜索能力[11]。离散时间上的耦合振子的运动方程由 和 两方面描述：   (1。4）

    其中 是神经元 在时刻 的耦合系数， 和 分别是神经元 在时刻 的第一和第二个振子变量。

设 是同步状态的最大Lyapunov指数，当 时，可以观测到完全同步状态。设 ， 为混沌动力学基本Logistic映射时：

神经元 在时刻 的状态为：   (1。6)

其中 是同步的临界参数。当 且 时，神经元出于兴奋状态，两个振子完全同步。

设神经元 和神经元 由连接强度 连接，神经元状态对 的重要影响可由 和 之间的关系式表示：

其中 是外部输入， 是阈值。Inoue模型可以实现Hopfield的联想记忆和对TSP求解。对于TSP,Hopfield离散模型很难解出，但在Inoue模型中，TSP不需要模拟退火。 和 具有波尔兹曼模型的温度功能，但它与波尔兹曼模型不同的是这里所有神经元状态都是同时改变,计算速度得到很大提升,因为是同步处理的，这与大脑的运行更为相似，说明混沌神经网络对大脑的模拟比较真实。

   （1）基于Hopfield神经网络的混沌神经网络模型

    Chen和Alhara，Wang、Smith和Hayakwa等人将传统的Hopfield网络进行一定变化之后得到了一类具有混沌现象的神经网络模型[12]。

①Chen和Alhara的混沌神经网络模型

Chen和Alhara提出了暂态混沌神经网络[13]，其动力学方程为：

    其中 为自反馈连接权重， ； 为 的阻尼因子； 为正参数； 为不应性衰减参数； 为比例系数； 为神经元 的内部状态； 为神经元 的输出； 为Sigmoid函数陡度参数； 为神经元 的输入阈值。该网络模型的演变过程与模拟退火过程非常相似，因此称为混沌模拟退火。混沌模拟退火在搜索效率和计算机速度上都大大超过了模拟退火。

②Hayakawa混沌神经网络模型

Hayakawa等人在Hopfield神经网络的基础上加上混沌噪声项后得出了一种混沌神经网络模型[14]，其动力学方程如下：

其中 表示陡度参数为1的Sigmoid函数； 为放大倍数； 为混沌噪声项； 为神经元 的内部状态； 为神经元 的输出； 为Logistic映射。由于混沌噪声项的引入，神经网络不再收敛，需要用统计方法确定网络状态。文献综述

1。2  混沌系统同步控制

1。2。1  混沌同步历史

最早有关混沌同步的研究是1983年Fujisaka和Yamada在《理论物理学的进展上》发表的一系列关于混沌系统的同步的论文。这些论文详细研究了对称耦合同结构混沌系统及其同步。该系统沿空间轴的位置在连续空间上通过一个常规扩散耦合的离散相似产生扩散型耦合，这将产生一组离散的耦合常微分方程（组）：

    式中 是扩散常数，它的作用就像一个耦合常数连接不同空间位置的动态变化，因为其耗散性质，在特定的 值下，耦合项有可能使不同空间动态位置发生同步。

1986年，Afraimovich等人发表了一篇论文，讨论了两个时间非自治，混沌振子的相互同步。当我们第一次看到这篇论文时，我们对“随机”感到困惑，后来才意识到它是通过动力学的恒等同步，类似于我们的系统。在发布会上，Rabinovich向我们保证，他们的方法实际上是我们所做的一个通用版本。参考文献12里，他们的运动方程是：