本课题具体工作有：

1) 建立直线二级倒立摆模型，对系统进行定性分析；

2) 分析直线二级倒立摆状态反馈控制器中的状态在控制中发挥的作用，进行二级倒立摆模糊控制器的设计及其参数调整； 

3）使用Matlab和Simulink进行数字仿真，比较LQR控制器和模糊控制器的性能；

4）在实际Googol Tech生产的GLIP2003直线二级倒立摆上进行调试、和分析。 

2倒立摆系统建模和定性分析

2。1倒立摆系统的特性分析

虽然倒立摆装置的机械结构多种多样，但是它们都含有以下共同的特性：

1）非线性。非线性是倒立摆典型的特征。可以通过线性化方法建立数学建模，然后用线性理论进行控制。也可以直接利用非线性控制理论对其进行控制。运用非线性理论对倒立摆装置进行控制逐渐成为学者们关注的焦点。

2）耦合性。强耦合关系存在于各级摆杆之间以及摆杆和小车之间。这就是能够使用单个电机完成多级倒立摆控制任务的原因，可是强耦合性也增加了控制器设计和参数调节的难度。

3）不确定性。模型的精确度和机械传动间隙等问题都给倒立摆系统带来了不确定性，实时控制中一般通过减少它们的误差来降低不确定性。例如为各种性能指标留有裕度、充分润滑主要传动机构、使用轴承来减少摩擦阻力等不确定因素。

4）约束限制。运动轨道限制了小车行程，电机力矩限制了模块运动，等等都给倒立摆装置带来了约束限制。其中，在倒立摆的自起摆控制过程中，行程约束容易造成小车的撞边。而成本问题，则限制了倒立摆装置的各部件的尺寸和电机功率。

5）开环不稳定性。倒立摆系统只存在竖直向上和竖直向下两种平衡状态。竖直向上是绝对不稳定的平衡点，就像我们尝试用手掌托起一根竹竿是很不容易的。显然竖直向下状态是稳定的平衡点，好比是自然下垂的钟摆。

针对以上的特性，为方便建立系统数学模型，可以忽略系统的次要因素。例如空气阻力、驱动机构的摩擦阻力、装置模块之间连接的松紧度、传动皮带的弹性等。

2。2系统的数学模型

本节运用Lagrange方程推导直线二级倒立摆的微分方程。

Lagrange方程为：

 (2。1)

上式中:L表示Lagrange算子， 表示系统的广义坐标， 表示动能， 表示势能

用 和 表示Lagrange方程为：

 (2。2)

上式中， ， 表示系统合外力，在本系统中，系统的三个广义坐标分别为 。 

倒立摆装置的主要参数含义如表2。1所示：

表2。1二级倒立摆装置主要参数表

直线二级倒立摆装置的结构图如下所示。

图2。1直线二级倒立摆结构图文献综述

忽略次要因素，便于建立系统模型，提出下面合理的假设：

1）小车和1、2级摆杆都是刚体；

2）皮带轮和皮带间没有相对滑动，且传动皮带没有拉伸；

3）小车和导轨之间的摩擦力正比于小车的速度；

4）上下摆杆和转轴间的摩擦力矩正比于摆杆的角速度。

下面开始逐步推导系统数学模型。

系统的动能由4部分组成，为：

 小车以速度 运动，它的动能为：

 上摆杆1的动能由两部分组成，表示为：

上式中，

那么

同样的， 摆杆2的动能可表示为：

上式中， 质量块的动能为：

所以，系统的总动能为：

系统的总势能为：

Lagrange算子 ：