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3.1 模型和数值方法
3.1.1 物理数学模型
雾霾天气气溶胶系统涉及颗粒物复杂的动力学演变过程:碰撞、凝并、破碎、冷凝/蒸发、成核、沉积、表面化学反应等(见图3)。因此,本文基于颗粒稀疏和分子混沌假设,应用颗粒群平衡模拟来解颗粒群平衡方程 (population balance equation, PBE),描述雾霾区域气溶胶颗粒尺度分布函数随时间的演变过程,方程如下：
（1）
式中: 为单位体积颗粒尺度分布函数( ); 是时刻t、两颗粒(尺度分别为u和v)的凝并核,表示单位时间内两颗粒发生一次凝并事件的概率( ); 、 和 分别为颗粒(v)的破碎核、成核核和沉积核,都表示单位时间内该颗粒发生一次破碎、成核和沉积的概率( 、 、 ); 为母颗粒(u)破碎产生子颗粒(v)的概率; 为母颗粒(u)产生的子颗粒数目; 表示冷凝单体的数目浓度( ), 表示冷凝单体在尺度为v的颗粒表面的沉积速率( ); 为Dirac delta函数, 表示成核产生的核体的体积为 , 为核体尺度[16]。
图3 雾霾天气气溶胶动力学事件示意图
3.1.2 数值计算方法
目前求解颗粒群平衡方程PBE主要有三种方法:分区法、矩方法和Monte-Carlo方法。由于蒙特•卡罗方法(Monte Carlo method)是以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法,即使用随机数(或更常见的伪随机数)来解决计算问题的方法。
本文所使用的PBE 数值解法是文献[18]提出了一种新的多重Monte Carlo算法.该方法基于时间驱动技术，同时具有常数目法和常体积法的特点，所以被命名为多重Monte Carlo算法(multi-Monte Carlo method， MMC算法)。MMC算法主要思想是：首先产生虚拟颗粒，确定时间步长，并保证每颗颗粒最多只可能参与一次某一类型的事件。然后，判断当前时间步长内对所有虚拟颗粒是否发生动力学事件，并进行事件后果的处理[18]。
3.2 计算结果及分析
3.2.1 雾霾区域气溶胶颗粒物单效应动力学特性的研究
本节将逐个考虑气溶胶颗粒物单个动力学事件:凝并、破碎、成核、沉积、冷凝/蒸发等的发生,以描述雾霾天气气溶胶颗粒尺度分布时间演变过程。
(1) 雾霾区域气溶胶颗粒的凝并事件
凝并动力学事件：由2个气溶胶颗粒或2个以上的颗粒物发生碰撞而粘结在一起，形成1颗体积更大的气溶胶颗粒物的过程。
图3.1 凝并事件示意图
1）模型与计算方法[17,19]
设：在体积V内，某虚拟颗粒i与其它任何虚拟颗粒在单位体积、单位时间内发生凝并事件的总概率为：
…………………………………………… (2.2)
式中： 为颗粒i和j的凝并核。
凝并核可以为： ①常数凝并核 =B； ②线性凝并核 =B(U+V)；③ 二次方凝并核 =BUV。其中B为凝并核系数，U、V为凝并前2个颗粒的体积。 为虚拟颗粒j的数目权值。
因此，虚拟颗粒i 在单位体积内发生一次凝并事件的时间尺度为 ，取min[ ]是只考虑凝并事件的时间步长 。
利用Nanbu算法[19]来对凝并事件的发生和凝并伙伴进行判断。设R为满足均匀分布、位于[0 ,1]的随机数，于是虚拟颗粒i是否发生凝并，需满足关系式：
………………………………………………………… (2.3)
若要确定虚拟颗粒i与计算体积V内其它虚拟颗粒发生凝并，就需要在剩余的虚拟颗粒中寻找凝并伙伴。