深交所创业板指数收益率分布研究(3)
2 相关理论和方法概述
2.1 股指收益率的定义
设It为t日的股票指数，It-1则为t-1日的股票指数。那么，t日的股指相对收益率Rt可以表示为：
此式又可变换为：
若把t-1时刻到t时刻的间隔视作由n等分构成，且假设每一等分收益率相等。即共n期，每期收益率为 ，那么，由上式等号的左侧可以写作： ，且此时式中的Rt为连续符合收益率即对数收益率。那么，将n视作无穷大，则该时间段可视为连续，于是可知：
将等式左侧化简为： ，再将等使两侧同时取自然对数，则有：
采用对数收益率可以有效减少指数的偏度和峰度的影响，且对数收益率具有可叠加性质，相比相对收益率更方便数据处理，因此，对数收益率无论是相比股价而言还是相比相对收益率而言都更加优越，它能反映出的股市波动趋势更为准确与方便。因此本文采用对数收益率的进行分布的拟合估计。
2.2 收益率拟合备选模型
通过收益率的分布密度图以及常被用来估计股指收益率分布的几种模型，本文选取正态分布、伽马分布、t分布和logistic分布对收益率分布进行拟合，并对拟合结果进行分析。
2.2.1 正态分布
正态分布的概率密度函数可以写作：
其中，μ是位置参数，μ∈（-∞，+∞）；σ为形状参数，σ越小图形越尖。当μ=0，σ=1时，序列服从标准正态分布。
2.2.2 伽马分布
伽马分布的概率密度函数可以写作：
其中，Γ( )为伽马函数；α为形状参数，α>0; β为尺度参数，β>0。该分布的期望值为c+（α/β），即α/β调整期望，同时，该分布的方差为α/β2。
2.2.3 t分布
t分布的概率密度函数可以写成：
其中，Γ( )为伽马函数；μ是位置参数，μ∈(-∞，+∞)；σ²为离散化参数，σ²>0；v是t分布的自由度。若收益率序列Rt符合t分布，且拟合结果中自由度v>2，那么参数μ的数值即为收益率序列的均值，参数σ²的值即为序列的方差。特别的，当自由度趋向于无穷是，t分布接近于正态分布。
2.2.4 logistic分布
logistic的概率密度函数可以写成：
其中，μ是位置参数，μ∈（-∞，+∞）；s为离散化参数，s>0。若收益率序列Rt符合logistic分布，那么参数μ的数值即为收益率序列的均值，且参数s的值与序列的方差关系为：
Var（Rt）=π²s²/3。
2.3 拟合及检验方法
2.3.1 直方图
直方图(Histogram)又称质量分布图。它的横轴表示所统计数据的数值，纵轴显示数据的分布情况。直方图通过不同高度与面积的条形图来体现出在指定区间内数据出现的頻数。是一种统计报告图
这种统计报告图可以直观地、一目了然地显示出序列的总体分布情况，体现数据存在的规律性。在直方图的制作中，首先要根据统计学概念对数据序列进行合理分组，这也是直方图制作中的关键问题。
2.3.2 Quantile- Quantile图
Quantile- Quantile图,简称QQ图，它是一种用来比较两个分布的简单却很重要的工具。QQ图通过描绘检验序列与理论序列的分位数分布，来显示出两组数据分布的异同。
具体来说，若需检验一组数据是否来自某个概率密度函数为f（x）的分布，通常图的横坐标为根据数值大小一次排好序的实际数据，即次序统计量，可以称之为经验分位点。横坐标为这些数据的理论分位点。QQ图的横纵坐标定义好后，便可在图上做出散点图，同时再在图上添加一条用于直线，通过观察散点的分布是否与直线相吻合，即直观粗略地可判断实际数据与理论分布的契合情况。若散点不落于直线，则两分布不吻合，且散点偏离的幅度越大，则契合度越低。直线由四分之一分位点和四分之三分位点这两点确定的，四分之一分位点的坐标中横坐标为实际数据的四分之一分位点,纵坐标为理论分布的四分之一分位点,四分之三分位点类似，这两点就刚好确定了QQ图中的直线。QQ图并不能定量地给出实际序列与理论分布的拟合情况，但可以为进一步探究提供一个初步直观的参考，且QQ图通常两端更为敏感，中部相比较为迟钝。