分数阶微分方程在金融中的应用(2)
的判断对于降低投资风险，提高盈利有着巨大的帮助。利用我们所学习的知识对
此方面进行研究，也能够帮助我们更好地分析市场以进行合理的投资。
在研究期权的过程中,第一次期权定价的解析模式是由 Black 和 Schole 给出
的。在 1973 年他们推导出了的著名的期权定价公式 Scholes - Black 方程。由于
Black 和 Scholes 对于期权定价理论有着杰出的贡献，1997 年他们被授予了诺贝
尔奖。 在1973年之后， 许多金融学家和数学家， 又做了大量工作， 将 Scholes - Black
方程的应用从股价理想的正态分布状态拓展到更接近实际情况的状态,或者构造
新的格式对 Scholes - Black 方程进行计算。金融与数学一直有着很大的联系，金
融市场中可以运用数学中的很多理论，如利用蒙特卡洛模拟股票走势等。然而基
于目前的研究成果中，对于股票的预测或一些金融产品的定价仍不准确，会出现
较大的偏差。因此，在对于此方面仍需要不断的探索创新。本文利用了一种新的
方法-变分迭代法，通过求分数阶微分方程，将其应用与金融市场中来求解
Scholes - Black 方程，并将其与其他方法得出的测试结果进行对比，可以判断出
这种方法是否可以更好地应用于金融领域。[1]
1.2 国内外研究现状与发展趋势
近年来，在金融，物理，生物，环境等领域分数阶微积分理论都得到了广泛
的应用。分数阶微分的定义方式有很多不同，常用的有 Letnikov Grunwald 型分
数阶微分， Liouville Riemann 型分数阶微分，以及Caputo 型分数阶微分。
分数阶微积分理论具有很重要的作用， 首先是发展求解分数阶微分方程的方
法。目前分数阶微分方程问题的研究己经取得了一系列成果。分数阶波动方程，
分数阶微分方程组，分数阶积分微分方程等等都涉及分数阶微分方程。Adomian
分解法，匹配法，分数算子逆法，Taylor 展开法等都是可以使用的主要方法。[2]
1999 年，变分迭代法由何吉欢教授在广义拉氏乘子法的基础上提出。可操
作性强、计算少、收敛速度快、适用范围广等是变分迭代法具有的优点，近年来，
到在各种微分方程问题中变分迭代法都已得到广泛的应用。 如： 高阶边界值问题，
发展型方程，时滞微分方程，积分微分方程等。在何吉欢用变分迭代法的思想解时滞微分方程，在 AHemeda A. 变分迭代法
解波动方程,在 Abdou A M . . 用变分迭代法解 s Burger' 方程和 s Burger' 方程组，在
Momani S. 用变分迭代法求解Helmholtz 方程。[4,5]
二、预备知识
2.1 Scholes - Black 偏微分方程
2.1.1 Scholes - Black 偏微分方程
Scholes - Black 微分方程是不支付红利股票的衍生证券价格必须满足的方程.
它是建立在如下假设基础上的:
(1)股票价格遵循几何布朗运动;
(2)允许卖空衍生证券;
(3)没有交易费用或税收,
(4)在衍生证券有效期内,标的资产(股票)没有红利支付;
(5)不存在无风险套利机会;
(6)证券交易是连续的;
(7)无风险利率r 是常数且对所有到期日都相同.
根据假设(1),有结果
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