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向量刚开始是被应用于物理学中的一种量，差不多在公元前350年前，古希腊著名的学者亚里士多德就已经知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可利用著名的平行四边形法则来得到并表示。“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。最早使用有向线段来表示向量的是英国的科学家牛顿。从数学的发展史来看，历史上很长的一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，一直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量的运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。

2向量的概念

在日常生活中我们经常遇到时间、温度、重量等在规定单位下，可以由一个数字完全确定的只有大小的量，这种量叫数量。另外，还有其他一些量，比如力和速度等，他们不但有大小，而且还有方向，类似这种量就是向量。

2。1向量的相关概念[1]

1。 定义：既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量，简称矢[1]

2。 表示方法：向量可以有代数、几何、坐标三种表示方法[1]

代数表示：我们用有向线段表示向量，把始点是A，终点是B的有向线段记做(AB) ⃗，手写时常用带箭头的小写字母a ⃗，b ⃗，c ⃗…，印刷时常用黑体字母a，b，x…表示。

几何表示：用有向线段表示向量

坐标表示：以平面几何为例，设平面内A点坐标（x_1，y_1），B点坐标（x_2,y_2），则向量(AB) ⃗的坐标表示为（x_2-x_1，y_2-y_1），多维坐标以此类推

3。向量的模：向量的大小叫做向量的模，也称向量的长度，向量(AB) ⃗与a ⃗的模分别记做|(AB) ⃗ |与|a ⃗ |[1]

4。单位向量：模等于1的向量叫做单位向量，与向量a同一方向的单位向量叫做向量a的单位向量，常用a^0来表示[1]

5。零向量：模等于0的向量叫做零向量，记做0，零向量方向不定[1]论文网

6。相等向量：如果两个向量的模相等且方向相同，那么把它们叫做相等向量，所以零向量都相等。[1]

8。共线向量：平行于同一直线的一组向量叫做共线向量，零向量与任何向量共线[1]

9。共面向量：平行于同一平面的一组向量叫做共面向量，零向量与任何向量共面[1]

2。2向量的线性运算

1。向量的加法：向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则[1]

如图，(OA) ⃗+(AB) ⃗=(OB) ⃗

向量的加法满足下面运算规律：

交换律

a ⃗+b ⃗=b ⃗+a ⃗

结合律

(a ⃗+b ⃗)+c ⃗=a ⃗+(b ⃗+c ⃗)

2。向量的减法：向量a ⃗减去向量b ⃗等于向量a ⃗加上向量b ⃗的反向量即：a ⃗-b ⃗=a ⃗+（-b ⃗）[1]

3。数量乘向量：实数λ与向量a ⃗的乘积是一个向量，记做λa ⃗，向量的数乘满足下列运算规律：[1]

①                                  1×a ⃗=a ⃗

②结合律：                        λ∙(μa ⃗ )=(λμ) a ⃗

③第一分配率：                  (λ+μ) a ⃗=λa ⃗+μa ⃗

④第二分配率：                  λ(a ⃗+b ⃗ )=λa ⃗+λb ⃗

数乘向量的坐标等于这个数与向量的对应坐标的乘积：a ⃗=（x_1，y_1），λa ⃗=（λx_1，λy_1）

4。向量的数量积：两个向量a ⃗和b ⃗的模和他们的夹角的余弦的乘积叫做向量a ⃗和向量b ⃗的数量积，也称内积，记做a ⃗·b ⃗，即：