Volterra人口模型求解Taylor展开和Pade逼近(3)
在2515年有 200万亿
到2660年将有3600万亿
地球表面积约为为 510067866平方公里，若是按人均地球表面积计算，到2625年仅为每人0.09平方米，也就是说必须要人挨着人才能站得下，而在35年后的2660年，人口又翻了一番，就会要人的肩上再站人了。随着时间的推移，我们可以得出下式
然而，这完全不符合人口发展的实际情况。这说明在人口基数不是很大的时候，马尔萨斯人口方程还能较精确地反映出人及口增长的实际情况。但是当人口级数变得很大时，其精确程度就大大降低了。究其根源，由于随着人口的迅速膨胀，资源短缺、环境恶化等问题越来越突出，这些都将限制人口的增长。如果考虑到这些因素，就必须对马尔萨斯方程进行修改，增加一些阻滞系数，使方程更加准确。
2.2 Logistic模型[6]
马尔萨斯人口模型的出现，开启人类对于人口预测模型的时代，但是由于马尔萨斯忽略了一些实际情况，导致他的人口预测模型出现较大的偏差。
在这样的情况下，1845年，荷兰的数学、生物学家弗尔哈斯特(Verhulst)提出了一个修改方案，即将方程修改为
其中 、 称为“生命系数”。由于 ，因此当人口基数 不太大时， 这一项相对于“ ”可以忽略不计；而当 很大时， 这一项所起的作用就不容忽视了，它抑制了人口的增长速度。
于是，我们就得到了下面的人口模型：
(2.3)
上式是一个可分离变量的一阶微分方程。解之，可得
（2.4）
这就是人口 随时间 的变化规律。下面，我们就对（2.4）作进一步的讨论，并根据它作一些对人口的发展情况的预测。
首先，我们对（2.4）式两边同时求极限后易得出下式
对于上式，可以看出不论人口的基数如何，随着时间的推移，人口总量最终将趋于一个确定的极限值 ；
其次，对（2.3）式两边同时求导可得
若令 ，得 ，易知这正是上述函数的图象（称为“人口增长曲线”或“ 型曲线”）拐点的纵坐标，