二维形式：

 ，

当且仅当 时，等号成立。

一般形式： 

 当且仅当 （k为常数）时，等号成立。

例1  (2002年越南奥林匹克试题)设x, y, z是实数,且x2+ y2+ z2= 9,证明不等式:2(x+ y+ z)- xyz≤ 10。

【分析与思考】本题含有三个未知数，看已知可能想到三维的柯西不等式，但细细分析后可以将之与二维的柯西不等式相联系。已知三个平方项的和，而要证明的不等式不含平方项，所以第一步将不等式左边乘方展开，再构造出柯西不等式进行转化，最终转化到与已知相联系的形式。

证明　不妨设x2≥ y2≥ z2,因为x2+ y2+ z2= 9，所以x2≥ 3,6≥ y2+ z2≥ 2yz。利用柯西不等式得

 (2(x+ y+ z)- xyz)2

= (2(y+ z)+ x (2- yz))2

≤ ((y+ z)2+ x2)(22+(2- yz)2)

= (2yz+ 9) (y2z2- 4yz+ 8)。

令a= yz,只要证明(2a+ 9)(a2- 4a+ 8)≤102即可,而(2a+ 9)(a2- 4a+ 8)-100= 2a3+ a2- 20a- 28=-(a+ 2)2(7- 2a)。因为a=x y≤3，所以(2a+ 9)(a2- 4a+ 8)-100≤0，所以原不等式成立。

当a= - 2，且(y+ z)×(2- yz)=2 x时，等号成立。即yz= - 2,并且x2= 4(y+ z)2= 4(y2+z2+ 2yz)= 4(9- x2- 4)= 20- 4x2,得到x2= 4,y+ z= ± 1,yz= - 2。而x2≥ y2≥ z2,可得x= 2,y=2,z= - 1。

例2  设实数x，y满足 ，求 的最大值。文献综述

【分析与思考】这是一道典型的应用柯 西不等式解题的题目。主要运用到 这一公式。关键是根据题意将系数4和5进行分解，凑出公式中的a,b,c,d。本题在高考题中也有可能出现。

证明   ，即 ，由柯西不等式得               。

当且仅当 并且4x2+5y2 =8时取到等号。解之得 ， 时，原不等式等号成立。

所以 有最大值 。

例3　(1983年法国奥林匹克数学竞赛)设a,b,c分别为一个三角形的三边长,证明 　,并指出等号成立的条件。

【分析与思考】 a，b，c为三角形三边，可知a> 0,b> 0,c> 0，此题先巧妙地用了换元法，使不等式看起来更加工整美观，将原不等式进行取值代换，然后再利用了柯西不等式加以证明。

证明　设 , ,  , ,转化后代入原不等式，则原不等式转化为

只需要证当x> 0,y> 0,z> 0时,上式成立。 

应用柯西不等式三维形式,有