2。9。4不相容方程组的最小二乘解与最小二乘广义逆 23

2。9。5加号逆的应用 24

参考文献 25

致谢 26

一、引言

矩阵理论作为数学理论的一项重要基础，随着计算机的推广更加强了其应用的广泛性，且更为人所熟知。同样的，逆矩阵理论是矩阵理论一个不可分割的部分，其在求解方程组方面具有不可替代的地位。广义逆矩阵作为逆矩阵的推广，并非无意义的研究，相反，这种推广具备强大的必要性。其必要性的体现首先就表现在线性方程组的求解问题上。设有线性方程组源Q于W优E尔A论S文R网wwW.yOueRw.com 原文+QQ75201,8766

若 是n阶方阵，且 时，则该方程组的解存在且唯一，其解 可写成

但是，以上情况仅对于非奇异的方阵（满秩方阵）才有用，而生活中会出现大量的奇异方阵甚至是任意的 矩阵（ ），这些情况显然不存在通常意义下的逆矩阵 ,这个问题就引发人们去思考是否能推广逆矩阵的概念，使其更具有普遍性。

这个问题直到1920年，摩尔（E。H。Moore）首次提出了广义逆矩阵这个概念，遗憾的是在这之后的35年内没有得到人们的重视。1955年皮诺思（R。penrose）给广义逆矩阵以更规范地定义，得到了人们的重视，从而使其研究步入了新的篇章。如今，广义逆矩阵在数理统计、网络理论、系统理论、最优化理论等方面都得到了重要的应用，且这些应用也越来越为人们所重视，使得这一学科得到飞速的发展。现在，广义逆矩阵已成为矩阵理论中一个重要的分支。

二、正文

2。1广义逆矩阵的的基本概念

对于任意的复数矩阵 ，如果存在复数矩阵 ，满足

我们就称 为 的一个加号逆，且以上四个方程我们称之为Moore—penrose方程，简称M—P方程。而四个方程单独应用起来也各有方便之处，故出于不同目的，满足不同条件的部分方程的 ,我们通常称之为弱逆[1]。为此先简单给出以下定义。

定义1 设 ，若有某个 ，满足M—P方程中的部分几个条件或者全部条件，则我们称 为 的一个广义逆矩阵。若有某个 满足式｛1｝，则称 为 的一个｛1｝广义逆，记作 。若有某个 同时满足式｛1｝和式｛2｝，则称 为 的一个｛1，2｝广义逆，记作 。故 为满足 式这一个条件的广义逆； 为满足 式和 这两个个条件的广义逆； 为满足 式， 式和 式三个条件的广义逆。

按照定义1可推得，满足1个、2个、3个、4个M—P方程的广义逆矩阵共有 种，但应用较多的为以下提到的这五种。

1。减号逆 ，记作A- ；

2。自反广义逆 ，记作 ；

3。最小范数广义逆 ，记作 ;

4。最小二乘广义逆 ，记作 ；

5。加号逆或伪逆或Moore-Penrose逆 ，记作 。

2。1减号逆

定义2设有 实矩阵 （ ）。若有一个 实矩阵 ，它能使下式成立，则我们就称 为 的一个减号逆：

                                                  （1）

由上式又得

                                              （2）

拆开后得

                                            （3）