故若 为 的减号逆时， 就是 的减号逆。

例1 设 , , ,则

 , 

故 与 均为 的减号逆。

例2  若      则       ，其中 是任意实数。

证    因为对任意 ，均有

                  （4）

故

                                            （5）

反之，对任意 阶矩阵 ,若要满足

                          （6）

则必有 ，故 为 形式。

例2表明，标准型 的减号逆存在且不唯一，位置 中不同的数即代表不同的减号逆。

下面讨论当 为一般非零矩阵时，其减号逆的存在性以及是否唯一性。来自优Y尔L论W文Q网wWw.YouERw.com 加QQ7520~18766

引理1设， ， , 为满秩方阵，若 是 的减号逆，则 的减号逆可表示为

证    因为 减号逆为 ，故有

又因为 和 均是满秩方阵，故有

引理1说明，两个等价矩阵 ， 之间，若其中一个能求出其减号逆，则另一个必定也能求出其减号逆。

定理1（存在性和不唯一性）任意 阶矩阵 ，其减号逆 必存在且不唯一。

证  若 ，即 ,此时对任意的 ，都有 ，故任意的 阶矩阵 均为零矩阵的一个减号逆。

    若 ，那么必存在 阶满秩矩阵 和 阶满秩矩阵 ，使得

即为标准型，由例二知的减号逆存在，形式为

 ， 中填任意不同的数即代表不同的 

再由引理1得       （14）

若 奇异，则 不唯一。

上述证明也给出了一种求减号逆的方法，下面给出一个具体的例子。

例3    设 ，求 。

解   亦即满足定理1中的其中由例2得，标准型B的减号逆为

 中不同的数也对应不同的 ，减号逆不唯一。论文网

2。2自反广义逆

对于非奇异方阵，通常我们有 ，这种性质我们称之为“自反”。但这一性质对于减号逆却未必成立。

如例1 , 由此易得 

故 未必是 的减号逆，即 ，若要使 与 互为减号逆，我们不妨尝试对 和 两者加以限制，使其具有自反的特性。

定义3对于一个 阶实矩阵 ，若存在另一实矩阵 ，使得

 ， 

两者同时成立，则称 是 的一个自反广义逆。显然 是 的一个子集，它还满足 。

为了更深入准确地讨论自反广义逆和它的构造方法，我们有必要引入右逆和左逆的概念。

2。2。1最大秩矩阵的左逆和右逆

定义4设 是行最大秩 阶实矩阵（ ），若存在一个 阶实矩阵 ，使得 右乘上 后得到 阶单位阵 ，如下式所示

则 称之为 的右逆。

又由 是满秩方阵，故有   （21）

比较式（1）和式（21），我们易得右逆的一种计算方法，即

左逆的定义和以及构造方法和右逆类似。

定义5：设 是列最大秩 阶实矩阵（ ），若存在一个 阶实矩阵 ，使得 左乘上 后得到 阶单位阵 ，如下式所示

则 称之为 的左逆。

又由 是满秩方阵，故有         （23）

比较式（1）和式（23），我们易得右逆的一种计算方法，即

需要特别说明的是，对于一般的 阶级矩阵 （其中 ），其左逆和右逆是不可能同时存在的。当且仅当该矩阵为行最大秩时，其右逆存在；当且仅当该矩阵为列最大秩时，其左逆存在；当且仅当 时，左逆和右逆同时存在且相等，同为我们常见的的逆矩阵 。[2]