摘 要 ： 对于不等式来说，它有各种不同类型，其中最基础的莫过于一些基本不等 式，而利用这些基本不等式可以推出更多重要的不等式。 因此本论文主要来研究算术- 几何-调和平均不等式，证明了算术平均数、几何平均数、调和平均数间的关系，系统分析了三种平均数的运用范畴，并将其作适当的推广。 通过这些推广，从而揭示三种 平均数之间的内在联系。85982

毕业论文关 键 词 ： 算术平均数，几何平均数，调和平均数，不等式。

Abstract：For inequality, it has all kinds of different types, one of the most basic way to some basic inequalities, and the use of these basic inequality can launch more important

inequality。 So this thesis mainly to study the arithmetic - geometry - harmonic average inequality, proved that the arithmetic mean, geometric mean and harmonic mean the relationship between the use of system analysis of the three kinds of average category, and the appropriate marketing。 Through these generalizations, the interconnections between the three averages are revealed。

Keywords：Arithmetic mean, geometric mean and harmonic mean, inequality。

目 录

1 前言 4

2 三种平均数的关系 4

3 推广 7

结 论 12

参 考 文 献 13

致 谢 14

1 前言

对于不等式来说，它有各种不同类型，其中最基础的莫过于一些基本不等式，通 过了解算术平均数、几何平均数和调和平均数三者之间的关系，根据不等式的结构特 点，而利用这些基本不等式可以推出更多重要的不等式。 因此本选题主要来研究算术- 几何-调和平均不等式，并将其作适当的推广。来自优W尔Y论W文C网WWw.YoueRw.com 加QQ7520,18766 我们可以巧妙的利用均值不等式的一些 推广进行行之有效的计算，能给统计工作者在统计工作过程中带来一定的便利，在防 止张冠李戴，把三者混淆而不能真实反映现象的一般水平的失误问题上，具有一定的 意义。

2 三种平均数的关系

定义 2。1[1]

设d  d1, d2 ,, dn ,其中di   0,i  1,2,, n, 记

M  d d1 d2  dn ,

n n

那么该数Mn d 称为n个正数d1, d2 ,, dn的算术平均数。

定义 2。2 [1]N n d    d1 d 2  d n  2  ,

那么该数Nn d 称为n个正数d1, d2 ,, dn的几何平均数。

定义 2。3设d  d1, d2 ,, dn ,其中di   0,i  1,2,, n, 记

那么该数Kn d 称为n个正数d1, d2 ,, dn的调和平均数。

定义 2。4函数f x称为Jensen意义下的凸函数,或称为J凸函数,或称为下凸函数,

如果对任意两点, x, y I , f x满足不等式论文网

设d  d1, d2 ,, dn 为已知正数序列,   1, 2 ,, n 也为正数序列 , 且

1 2 n  1,则称M n d , 1d1 2d2 ndn为d1, d2 ,, dn关于1, 2 ,, n的

广义算术平均;同样称

为d1, d2 ,, dn关于1, 2 ,, n的广义几何平均与调和平均。