设1, 2 ,, n ,为一组正实数, 且1 2 n  1, f x是I上的广义

J凸函数,则对于任何的点x1, x2 ,, xn I ,有

当且仅当x1  x2  xn时等号成立。

x ,如果x , x ,, x 中的最大者为x ,最小的为x 若不止一个,可任选

其中之一即可,则由于xk , x jI上是J凸函数,故由数学分析中的知识 知, f x0, x I ,从而对于每一个

f   x利用中值公式或二阶Taylor公式可得

注意到f i   0, i  1,2,, n,故若在上式的两端同乘以i并且求和可得文献综述

显然等号成立的充要条件是对于每一个i, x x 。即等号成立的充要条件x1  x2  

对任意有限正数序列d  d1, d2 ,, dn ,有

当且仅当d1 d2 dn时等号成立。

证 这里首先证明Mn d Nn d ,为此设函数

f xln x, x 0,

易知0,故函数在0,上是J凸的, 所以由命题1。1知

由此得

由2。2中等号成立的充要条件知,上式中当且仅当x1   x2    xn时等号成立。

以下再来证明Nn d Kn d 。