证明  当 或 时明显成立,所以在以下证明中,不妨设 , , , 中至少有1个不是0, , , , 中至少有1个不是0。

在已知不等式 

中，令 ,  。

并取 , ,  ,把得到的不等式,一起相加,有

 ,

于是 

 ,

再把上式平方,即得柯西不等式。

3  放缩的技巧

    放缩法的技巧有三点:化复杂为简单,统筹兼顾,化抽象为具体。以下是具体的分析。

3。1化复杂为简单 

在绝对值不等式问题中，求证 。我们不容易直接比较带有绝对值的代数式的大小,利用放缩法,我们可以把较为复杂的绝对不等式问题变得简单。

直接利用的绝对值不等式的性质就可以判断出大小关系。

3。2统筹兼顾

    对一些特殊的分式进行放缩时，我们把一个相对较复杂的代数式                                         

拆分成4个部分，并对每个部分进行放缩，列出大于它和小于它的式子，并用不等号连起来。

最后把这些部分相加放在一起，我们可以发现

即文献综述

从而得到一个简单的放缩结果。

3。3化抽象为具体

    我们利用函数的单调性,可以把抽象的不等式问题,转化为判断函数单调性的问题。已知 , , 是 的三边,我们利用函数的单调性,可以把抽象的不等式证明

 ,转化为判断函数单调性的问题。

证明   由题意得

在 , 上是增函数,且 ,

即 通过转化，我们可以把抽象的数据变成具体的数据,从而优化解题。

4  放缩法的具体应用

    放缩法在数学解题中有着广泛的应用，下面是我对放缩法的具体应用。