摘  要  在二元函数的极限中，累次极限、二重极限和方向极限是几种重要的极限，而且有着密切的关系。本文系统总结和探讨了求累次极限和二重极限以及方向极限确定二重极限的一般方法和步骤。

毕业论文关 键 词  二元函数，累次极限，方向极限，二重极限92905

Abstract  Among the limit of two elements function,the repeated limit,the directional limit and the double limit are three important limit concepts and have intimate connections。In this paper,by using the repeated limit and the directional limit,discussed and summed up the general methods to ensure the double limit。

Key words  the limit of binary function,the repeated limit,the repeated exchange limit theorem

目  录

1引言4     2累次极限与二重极限的定义4

3累次极限与二重极限的关系及应用7

4 利用方向极限求二重极限12

结论15

参考文献16

致谢17

1 引言 来自优O尔P论R文T网WWw.YoueRw.com 加QQ7520`18766

   二元函数的极限作为多元函数微积分学的一个重要内容，是一元函数极限的推广，而又不同于一元函数的极限。对初学者来说,很容易对二元函数的两种极限——二重极限和累次极限之间的关系产生疑问及误解，甚至分不清这两种极限的概念。二重极限在多元函数微积分中占有突出地位，对于二重极限与累次极限的正确理解和求解是研究多元函数微分学的基础，而二重极限与累次极限的关系是其重要内容，它们存在着密切的关系，如：当累次极限存在但不相等时二重极限一定不存在。二重极限与累次极限之间的关系是一个复杂的问题，若能弄清它们之间的联系与区别，这将会对多元函数的微分计算，积分计算和极限计算发挥很大的作用，对研究函数的连续性、可微性、可积性以及一致收敛性都有很大的帮助，对多元函数的研究具有重要意义。为了正确认识这两种极限之间的关系，首先要掌握这两种极限的概念，清楚理解这两种极限实质性的区别，其次深入研究这两种极限存在性的联系．掌握二重极限与累次极限的概念及其关系有利于研究多元函数微积分及多元函数极限的计算．在本文中还将介绍方向极限，用方向极限的方法确定二重极限。

2 累次极限与二重极限的定义论文网

    二元函数极限是一元函数的推广，研究二元数的极限有助于更清楚的了解多元函数的连续性，可积性，可微性，一致收敛性之间的联系与区别，研究二元函数的极限首先要从它的定义出发，二元函数的极限有二重极限与累次极限之分，这是两个不同的独立概念，我们先来看看它们的定义。

定义1  设二元函数 是定义在  上的，且 为 的一个聚点， 是一个已经确定的实数。如果对任给正数 ，总是存在某个正数 ，使得当  时，都有 

 ，则称 在 上当 时以实数 为极限，可以记作 。

在对于 不致产生误解的情况下，也可以简单地写作  。

当  分别用坐标 ， 表示时，上面这个式子也常写作 。

在所研究的极限   中，两个自变量 同时以任何方式趋于 ， ．因此这种极限也称为二重极限．

例1 依定义验证 。

证明 因为先把定义域限制在点 的 的方邻域 上讨论，于是有

所以设 为任给的正数，取 ，则当 时，就有 文献综述

即 。注  二重极限的定义中， 即 代表着 及 的同时性和任意性。同时性是指 中点 的两个自变量趋向于固定点 ，任意性是指点 作为 中任意一点，不管以何种方式趋于点 ，函数 都趋向于唯一的固定值 。换个角度来看的话，这也提供了判断二重极限不存在的一种方法，即若点 沿两条不同的曲线趋于点 时，函数 的极限若不同或不存在，则此函数 在点 的二重极限不存在。