函数的连续与一致连续是数学分析中的基础知识，连续类函数也是数分中重要的函数类，本章主要介绍函数的连续性，一致连续性以及他们的一些比较陌生的性质。

2。1函数在一点处的连续性

设函数 在 的某个领域 内有定义，则 在点 连续的充要条件是 。                         。                     

 在点 连续可以直接用 方法来叙述,即： ， ，当 时， 。

设函数 在 的某个领域 内有定义， 则 在点 右连续的充要条件是 。

 在点 右连续也可以直接用 方法来叙述： ， ，当 时， 

。

  设函数 在 的某个领域 内有定义， 在点 左连续的充要条件是 。 

 在点 左连续也可以直接用 方法来叙述： ， ，当 时， 。

    函数 在点 连续 函数 在点 既左连续又右连续。

例1。证明函数 在点 处的连续， 为狄利克雷函数。

    证：由于 且 ，对 ， ，当 时,

          ，

只要取 ，根据定义可得 在点 处的连续。

2。2  函数在区间 上的连续

函数 在区间 上每一点都连续（即在 上处处连续），则称函数 在区间 上连续。若区间包含端点，则在端点处的连续性是按左连续与右连续来定义的。

例2。证明函数 在区间 的连续性。

证：因为函数 在区间 上每一点都是连续的，所以要证函数 在区间 的连续性，只需要证明函数在点 和 的左右连续性。

当 ，易证 ，所以 在 左连续，同理 在 上右连续。

综上，所以函数 在区间 是连续的。

2。3 函数一致连续性的概念

设 为定义在区间 上的函数，若对给任意的 ，存在 ，使得对任何 ，只要 ，就有 ，则称函数 在区间 上一致连续。

例3。证明函数 在 上一致连续。

证：对于 ，由于文献综述

故可以选 ，则对任何 ，只要 ，就有

                             。

所以函数 在 上一致连续。

2。4函数一致连续的性质

函数一致连续和函数连续一样，都有有界性，保号性，四则运算法则，值域定理及其推理 

定理1 （一致连续性定理）  若函数 在闭区间 上连续，则 在 上一致连续。

定理2  设区间 的右端点为 ,区间 的左端点为 （  可分别为有限或无限区间)。若 在 上均一致连续，则 在 上一致连续。

定理3  开区间 内函数为一致收敛，则 与 存在。

定理4  函数 在有界区间 上一致收敛，若 为 上的任何Cauchy列，则 也为Cauchy列。

   定理5   函数 在区间 上一致收敛，对任意的                                                               

都有   定理6   若 ，且 存在（有限），则 在 上一致连续。