摘 要:本文介绍了凸函数的4种定义以及凸函数的常用性质。并且探讨了它在证明詹森不等式和一般不等式中的重要应用。

毕业论文关键词:凸函数，詹森不等式，不等式93627

Abstract: In this paper ,we introduce four different definitions of convex function and common properties of convex function, and discuss its important application in proving Jansen inequality and general inequality。

Keywords: convex function,Jensen inequality ,inequality   

目   录

1 前言 4

2 凸函数的概念与性质 4

2。1 凸函数的概念 4

2。2 凸函数的性质 8

3 凸函数的应用 12

3。1 凸函数在不等式中的应用 12

结论 17

参考文献 18

致谢 19

1  前言

  函数的凸性是函数的一个重要性质，具有良好的几何性质，因此具有重要的理论研究价值和应用价值，比如利用凸性证明不等式，产品的外形设计，优化产品设计等，本文将对函数的凸性的研究背景和意义进行分析论述，对函数的定义及其相互关系分析论述，对凸函数在不等式中的应用进行分析。

2  凸函数的概念与性质

2。1 凸函数的定义

  定义1[1] 设函数 在区间 上有定义，若对任意 ，    及任意 总有  。        （2。1。1）

则称 为区间 上的凸函数。若（2。1。1）呈严格不等式，则称 为严格凸函数。若 为凸函数（严格凸函数）则称 为凹函数(严格凹函数）。

凸函数（凹函数)的几何意义：连接曲线  上任意两点的弦总位于对应曲线的上方（下方）。

显然，严格凸函数也是凸函数，反之不真。除此定义以外，还有其他形式的

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定义2[2]  在区间 上有定义。  称为 上的凸函数，当且仅当  , ,有 。   

（2。1。2）式中 改为 便是严格凸的定义

定义3[2]  在区间 上有定义， 称为是凸函数，当且仅当  有 

（2。1。3）式中 改为 便是严格凸的定义。

定义4  在区间 上有定义，当且仅当曲线 的切线恒保持在曲线以下，则称 为凸函数。 若除切点以外，切线严格保持在曲线下方，则称 为严格凸的。

下面我们要证明定义2与定义3是等价的, 且当 连续时定义1 ，定义2和定义3等价。

先证明定义2与定义3 等价。

   证明  由（2。1。2）式知（2。1。3）式当 时成立。现证 时（2。1。3）式成立。事实上， 由（2。1。2）式，我们有

此即（2。1。3）式对 成立。一般来说，对任一自然数 ，重复上面方法，应

用（2。1。2）式 次，可知 

这说明式（2。1。3）对一切 皆成立。

 记 则 ，所以， 

因式（2。1。3）对 成立。

故不等式两边同乘以 ，减去 ，最后除以 。注意 我们得到

此式表示式 对 成立。证毕。

若 连续，则定义1，定义2与定义3等价。下面定理给出了凸函数的几种等价描述。

定理1[3]设 为区间 上凸函数的充要条件是对任意