子环理想的性质与应用(2)
定义 设 是环 的一个子加群，即对 中任意元素 ,差 仍属于 .如果又有
则称 是环 的一个左理想；并称 满足左吸收律.
如果
则称 是环 的一个右理想；此时称 满足右吸收律.
如果 不仅是环 的左理想而且又是右理想，则称 是环 的一个两边理想，简称理想，并用符号 表示；否则记为 .
定义 对任意的环 ，如果 则至少有两个理想：一个是零理想 ；另一个是 本身（称为环 的单位理想）.这两个理想统称为环 的平凡理想.
定义 如果一个环内无平凡理想，则称这个环为单环.
定义 设 是一个环，任取 ，则 中包含元素的理想总是存在的，因为本身就是一个.易知， 中包含 的全部理想的交也是 的一个理想，且是 的包含元素 的最小理想.这个理想记为
，
并称其为 的由 生成的主理想.
定义 设 是一个交换环，又 .如果
,
其中 ，则称 是 的一个素理想.
定义 设 是环 的一个理想，且 .如果除 和 外， 中没有包含 的其他理想，则称 为环 的一个极大理想.
定义 设 是环 的两个理想，则 称为 与 的和，记为 .
定义 设环 的两个理想是 ，就称
为 与 的积，记为 .
定理 若 是环 的 个（子环）理想，则
也是环 的一个（子环）理想.
证 对 用数学归纳法.
当 时定理显然成立.
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