多目标线性规划的求解方法及其在数学软件中的实现(2)
论文主要介绍多目标线性规划比较常见的几种解法：线性加权和法、理想点法、模糊数学法、层次序列法、单纯形法，对具体事例分析，求解，并在MATLAB软件中加以实现。
1. 多目标线性规划问题
多目标线性规划，至少有两个或两个以上的目标函数，且目标函数和约束条件都是线性函数，如下：
约束条件为：
若(1.1)式中只有一个 ，那问题为典型的单目标线性规划。记作为：
则上述多目标规划可用矩阵形式表示为：
约束条件为：
因为多目标各个目标之间有着不可共存的特性，由于多个目标在若干个限制条件中，目标之间无法统一，所以使得多个目标同时达到最优解这种情况几乎是不可能发生的，所以想要求出某一个点 ，使得这一点在所有目标函数中，各目标函数都达到各自的最优值，这样的一点基本是不可能存在的[4]。故在求解的过程中，一般都是采取折中的方法，使得所求的所有目标函数的值都尽可能的大，求出相对最优解。
2. 多目标线性规划的求解方法以及在MATLAB中的实现
2.1 线性加权和法
用线性加权和法求解多目标函数，需在具体的多目标问题中，率先设给定的一组与各目标 对应的非负数 ：
在上面两组目标函数和所对应的非负数之间，两者的关系是 越大，表示 在模型中越重要。把目标函数带上各自的系数，可以得到 ，对之进行求和，得出如下评价函数：
通过上式的评价函数，把这些目标函数归纳在一起，然后转化为标量化的数值函数：
使模型中各目标函数的值尽一切可能的小，需要极小化数值函数(2.1.2)，即求解：
求出最优解 ，将之作为(1.3-1.4)在线性加权意义下的“最优解”[6]。
例1 对下面的例题用线性加权和法进行求解：
权系数分别取 。
解：构造函数，模型求解：
MATLAB程序如下：
>> f=[-0.5;-2.5]; A=[2,3;2,1]; b=[18;10]; lb=[0;0];
>> x=linprog(f,A,b,[],[],lb)
运行结果：x=0.0000 6.0000
则对应的目标值分别为 =12， =18。
2.2 理想点法
理想点法求解，需先求出多目标线性规划(1.3-1.4)中r个单目标问题的解：
，
假设其最优值为 ， 是值域中最理想的一点。在现实中，这样的点通常是不存在的，只能尽量满足，寻求距离 无限小的 作近似值，因为这类求解的方法主要使目标无限接近理想的一点，所以叫做理想点法[7]。
在理想点法中，只要选取适当的模 ，使得 关于 使严格增函数，进行求解。
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