辛钦大数定律在生活中的应用(3)
1.1.4马尔可夫大数定理
马尔可夫(1856~1922,俄)对于切比雪夫要求的:随机变量序列的方差一致有界的条件并不满足,这在他1907发表的论文《大数定律对非独立随机变量的推广》中就有所体现.这对于完善切比雪夫的结论有很大的推动作用,因为他发现了其他的更弱的条件,他在论文中写着:“在定律推导的过程中,切比雪夫只讨论了相互独立的随机变量序列,这样就被严格限制在这种最简单的情况.但是实际上其结果完全能推广到更加一般的情形,即是相互依赖的随机变量序列.”
马尔可夫大数定律的诞生, 成立就是显著性的标志.对于满足大数定律和非独立的随机变量的条件在他的同一篇论文中也有所体现,用数学语言描述为:存在 ,使得对于一切整数 ,有 ,其中 成立.我们如今的在概率论中经常应用到的“缩减法”,也是马尔可夫在同一年得出的,辛钦大数定律由此就真正诞生了:即如果 为独立同分布的随机变量序列, 且它们的数学期望存在,即 , 那么 成立,其中 .
对于辛钦大数定律的证明，我们主要的利用的方法是特征函数法,它是在1929年被证明出来的.在辛钦大数定律中没有假设随机变量的方差存在,这为我们在实际应用中:随机变量序列的算术平均值提供了理论基础.比如,我们要测量物体 的某个指标,我们就可以利用独立重复实验,独立地测量 次,接着记录一下实验结果,记为: 当 足够大时,也即是我们实验的次数足够大时, 根据辛钦大数定律我们就可以得出结论: ,这显然要比我们做一次实验所得的结果要精确的多,而且用以上方法算出结果的偏差仅为做一次测量的 .
对于辛钦大数定律的研究实质上就是从雅各布、泊松、切比雪夫再到马尔可夫,他们的一步步探究中所总结出来的,在本质上也就是解释符合大数定律的一般条件，在渐渐扩展到满足大数定律的也就是我们常用的随机变量序列的范围，进而对其平均值的稳定性具体说明.
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