Rouche定理及其应用
毕业论文关键词：辐角原理；儒歇定理；解析函数；零点个数
Rouche Theorem and The Application of Rouche Theorem
Abstract: In this paper, firstly, it shows readers classical Rouche theorem and simple application of this theorem. Secondly, by means of analysing the conditions among the simple application of the classical Rouche theorem, we realize the punitive of conditions above classical Rouche theorem and the limitations of application. thus, in order to enhance the applicability of Rouche theorem, we weaken or change the conditions of this theorem properly. So, parts of the generalizations of Rouche theorem are summarized and proof of them is given. Then, researching the distribution of the root about functions of real variable in some areas, compared with the root of the existence theorem in mathematical analysis, the superiority of Rouche theorem is promulgated. Finally, we discuss emphatically the application of Rouche theorem and parts of the generalizations of Rouche theorem in three investigative aspects.
Key words: Argument principle; Rouche theorem; Analytic function; Number of zeros
目 录
摘要 1
引言 2
1.知识预备 3
2.Rouche定理及其部分推广形式.. 5
2.1 Rouche定理. 5
2.2 Rouche定理的部分推广形式. 6
3.Rouche定理的优越性.. 10
4.Rouche定理的应用 13
4.1 Rouche定理在解决方程在一些区域内根的个数上的应用. 13
4.2 Rouche定理在确定解析函数零点个数上的应用... 15
4.3 Rouche定理在证明一些解析函数定理上的应用... 17
5.结束语... 19
参考文献... 20
致谢.. 21
Rouche定理及其应用引言
我们在复变函数论的学习中，会学到一个著名的定理，那就是儒歇（Rouche)定理. 该定理是辐角原理的一个推论，也可称作零点个数比较定理. 在考察函数零点的分布状况以及零点的个数上，运用儒歇定理能够使问题解决更加地方便和高效. 除此以外，该定理在另一些领域也有着十分重要的应用.
对于儒歇定理的研究，本人翻阅有关书籍和网上查阅，了解到前辈们已经做出了大量的努力了，同时也取得了十分傲人的成绩，有的甚至还达到了国际先进水平. 举一个典型例子: 在《时滞神经网络和生命能量系统的稳定性分析》这篇论文中，东北林业大学的硕士张明明，他通过对儒歇定理和该定理的推论分析，得出了动力系统中特征方程根的分布状况. 进而，他得到两个结论: 该系统解析解稳定和Hopf分支存在的条件，并且画出了其分支图，介绍了相关的数值例子.然而，同类的例子不胜枚举.
本文中，做出了如下研究成果：通过参考文献[1-4]，首先介绍了复变函数论中的经典儒歇定理，并给出了该定理的一个典型的简单应用；其次通过对该简单应用例子中的条件进行分析，得出了经典儒歇定理条件的苛刻性以及应用上的局限性，因而为了扩大儒歇定理的应用范围，将经典儒歇定理的条件适当进行减弱或者改变，归纳并总结了儒歇定理的部分推广定理并且给出了证明；接着在对一些实变函数在一定区域内根是否存在以及根的分布情况的研究中，通过和数学分析中根的存在定理在此应用上进行比较，揭示出儒歇定理凌驾于根的存在定理的优越性；最后着重介绍并归纳了儒歇定理及其部分推广定理在以下三个研究领域上的应用，即在解决方程在一些区域内根的分布情况及确定解析函数零点个数和证明一些解析函数定理上的应用.
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