拉格朗日插值公式的误差估计(2)
则必有 .那么，泰勒级数的形式就可以如下：
其中，前 项我们称之为函数在 处的 阶泰勒展开式.但是，泰勒展开能够无限的逼近原函数，是 趋向于无穷为前提条件的.如果我们只将函数展开到 阶，后面部分我们称之为余项就可以省去，这必然会产生误差.记余项的表达式为 ，用来表示 项之后的余项，则泰勒展开可以写成如下的新的式子：
也就是说，
我们做一个移项就有：
我们称 是拉格朗日余项.
对于（2）式作为 时，其中 是节点 上的 次拉格朗日多项式，在一个我们认为理想的空间（之前就已经假设过了），根据罗尔定理
由于 ，必定在 内存在一点 ，使得
即 4.比较的方法进行分析
对于 的最大最小值点，也可以是稳定点进行分析.我们假设有偶数个节点 .n是偶数.其中 （如下图） 取任意非节点，即 ， .
为了下面方便我们分析，我们用一个伸缩变换使得节点之间的间距都是1.事实上我们可以提出个常数 来完成.与此同时我们分析下 这个式子，我们对其求导可以发现这个 阶的式子求导后有 个稳定点，也就是极大值和极小值，而最大值和最小值必定就在这些点之中，而且每个节点之间都有一个极值点，而且这些点都在两个节点中间，我们可以知道当取节点的时候，这时函数的值为0，相邻两个节点都为0的话，我们利用罗尔中值定理，可以知道这其中必有极值点，又有 个节点，所以这那个节点的分布，必定是每相邻的2个节点之间都有有且仅有一个极值点.我们就可以根据这几个节点进行如下分析.
上一篇：Lebesgue积分的应用
下一篇：向量分析法的研究