无穷积分收敛的判别方法
毕业论文关键词：无穷积分 无穷级数 收敛 判别方法
The Discrimination Methods of Infinite Integration Convergence
Abstract
In this paper, the discrimination methods of infinite integration convergence are obtained by the discrimination methods of series convergence. Using the Abel discriminating method in infinite integration convergence and the radical test in series convergence, We derive a new discrimination method of infinite integration convergence.
Key Words: infinite integration infinite series convergent discrimination method
目 录
摘要Ⅰ
Abstract-Ⅱ
目录Ⅲ
1 前言-1
2 无穷级数与无穷积分的关系-2
3 由无穷级数收敛判别法得到的无穷积分收敛判别法3
4 新的判别无穷积分收敛的方法10
5 结论-12
参考文献13
致谢14
1 前言
无穷积分收敛性质的判别是数学分析中比较难掌握的内容,也是数学分析中的重点.本文利用无穷积分与级数的关系，将一些级数收敛的判别方法推到无穷积分上，拓宽了无穷积分收敛的判别路径.
无穷积分敛散性的判别并非一蹴而就的，是人类不断探索、共同努力的结果.起初由无穷积分收敛的定义出发，逐步得出各种各样的判别方法.现今，判别无穷积分收敛的常用方法有定义法、比较法则、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法等，其中比较法则因为用起来比较便利，所以应用更为广泛.除了这些常用的方法，人们还得出了诸如对数判别法、有界性定理、级数判别法等多种判别方法.不同的判别方法对于解决不同形式的无穷积分各有优势，各有利弊.无穷积分中的被积函数 形式多样，也为其判别方法的继续探究提供了可能，因而判别无穷积分收敛的方法还有进一步的探索空间.本文将无穷级数的根式判别法推到无穷积分上，并结合运用无穷积分的阿贝尔判别法，得出一种新的判别无穷积分收敛的方法.
本文的结构如下：第二部分介绍无穷级数与无穷积分的关系.第三部分将一些无穷级数收敛的判别方法推到无穷积分上，并举例说明这些判别法的应用.第四部分把无穷级数的根式判别法推到无穷积分上，并结合无穷积分的阿贝尔判别法，得出新的判别无穷积分收敛的方法，这是本文的创新点.
2 无穷级数与无穷积分的关系
对于无穷级数和无穷积分有这样的结论：
引理1[1] 无穷积分 收敛的充要条件是：对任意数列 ， ， ， 收敛于同一数，且 .
证明 必要性.如果 收敛，即
. （2-1）
充分性.如果对于任意数列 ， ， ，有 收敛于同一个数，也就是它的部分和数列 或者 收敛于同一个数，那么由海涅定理可以知道， 收敛，并且
. （2-2）
引理1阐明数项级数和无穷积分在理论、研究方法上有许多相像之处的主要原因，从而为下文无穷级数收敛的判别方法推到无穷积分上提供了理论基础.
3 由无穷级数收敛判别法得到的无穷积分收敛判别法
首先给出级数收敛的判别方法.
引理2[2]设 是正项级数.若存在常数 及自然数 ，当 时有 ，则级数 收敛；若存在 ，当 时有 ，则级数 发散.
引理3[3]对于正项级数 ，若有 使得当 时 ，则级数 收敛；若 时， ，则级数 发散.
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