一类三次直纹面的研究
毕业论文关键词：直纹面 三次曲面 参数方程 可展曲面
Research about a kind of Cubic Ruled Surface
Abstract
In this article,we research about a kind of cubic ruled surface whose traverses make up of two dissenting beelines and a quadratic.We provide the parametric equations of the parabolic, elliptic, hyperbolic cubic ruled surfaces. We prove that these cubic ruled surfaces are not developable surfaces. Finally, there are some examples about cubic developable ruled surfaces in this article.
Key Words: ruled surface cubic surface parametric equation developable surface
目 录
摘要-Ⅰ
Abstract--Ⅱ
目录-Ⅲ
1 引言-1
2 相关定义-1
3 抛物型三次直纹面及其性质研究-2
3.1抛物型三次直纹面的参数方程-2
3.2抛物型三次直纹面是不可展曲面-4
4 椭圆型三次直纹面及其性质研究-5
4.1椭圆型三次直纹面的参数方程-6
4.2椭圆型三次直纹面是不可展曲面-7
5 双曲型三次直纹面及其性质研究-9
5.1双曲型三次直纹面的参数方程-9
5.2双曲型三次直纹面是不可展曲面--10
6常见直纹面的性质--12
7列举一些三次直纹面是可展曲面的例子12
8 结论-13
参考文献14
致谢-15
1 引言
在几何中，曲线论与曲面论是几何中两大重要研究对象，其中直纹曲面是由一族或几族直母线所生成的曲面，直纹面有许多良好的性质，而且它在工程领域应用非常广泛，从而直纹曲面在曲面论中占据十分重要的地位. 而前人已经对二次曲面进行了比较全面、深入的研究 ，那关于三次曲面又有什么发现呢？本文就是在研究三次曲面的基础上展开的，主要针对一类由两条异面直线以及一条二次曲线为导线的三次直纹面进行研究.通过探索和研究，发现了抛物型三次直纹面，椭圆型三次直纹面，双曲型三次直纹面的参数方程，并且发现抛物型三次直纹面，椭圆型三次直纹面，双曲型三次直纹面都是不可展曲面.本文也相应给出了一些可展的三次曲面.
2 相关定义
定义 1 三元三次方程所表示的曲面是三次曲面.
定义2 如果存在这样一族直线使得这一族直线中的每一条全在曲面 上并且曲面 上的每一个点都在这一族直线的某条上，那么我们称曲面 为直纹面.这样的一族直线称为 的一族直母线.
简单地说，由直线的运动轨迹所生成的曲面就被称为直纹面，这些直线称为直纹面的直母线.
用 表示，其中 为直纹面的导线, 为导线上过 上点的直母线的方向向量.
特别地，当 为常向量时，该直纹面为柱面；当 为常向量时，该直纹面为锥面.
上述定义表明要证明一个曲面是直纹面，就要证明该曲面同时满足下面两个条件:
(1) 曲面上存在一族直线;
(2) 对曲面上每一点，必有族中的一条直线通过它.
求这种曲面的方程有一个确定的解题步骤：
首先，写出含有参数的母线族的方程:
.
然后，根据曲线运动的规律，写出参数 ， ， 就得到上述曲线方程.
定义3 若直纹面上一曲线与每一条直母线都相交于一点,则该曲线为直纹面的导线.
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