摘要证明不等式是数学重要的课题,也是分析解决其他数学问题的基础.微积分知识能较好地研究函数的形态,可以解决常规方法难以证明的不等式.利用微积分知识证明不等式常用的方法有:利用函数的单调性、利用函数图像的凹凸性、利用函数的最值等方法.本文在构造函数的背景下详细论证了运用函数的单调性、微积分中值定理、函数的极值和最值等方法.43974

毕业论文关键词：函数性态分析; 辅助函数;  不等式

 The proof of inequality is the important subject of mathematics, but also analyzed to solve other mathematical problems. Calculus can be used to study the form of function and can solve inequality which the conventional methods are difficult to prove.There are several commonly used method using the calculus knowledge to prove inequality:using the monotonicity of the function, using the concavity and convexity of functions, using the concavity and convexity of function image and so on.In the context of the constructor,this paper detailedly demonstrations several method including：the monotonicity of the function,mean value theorem of calculus,the extremum of function,the value of a function and so on. 

Keywords: analysis of the function;  the of auxiliary function;  inequality

目录

1 利用函数的单调性证明不等式 5

2 利用函数的极值和最值证明不等式 7

3 利用曲线的凹向性证明不等式 10

4 利用拉格朗日中值定理证明不等式 11

5 利用泰勒公式证明不等式 13

引言

从初等数学到高等数学中皆出现了许多不等式证明的相关问题.对于这些不同的问题，确实已经有了不少不同的证明思路与方法.通过构造辅助函数并利用函数的性质证明不等式，可以将涉及不同知识点的不等式证明问题统一转化到函数性质研究的问题上来，即将不等式证明问题用函数的思想方法加以解决.而函数作为微积分学中的研究对象，有许多成熟的研究方法与定理，从而可以直接利用函数的相关性质来证明不等式.

1.利用函数的单调性证明不等式 

定义1.1（函数的单调性的定义） 

设函数 在区间 上有定义，如果对于 当 时都有 .则称 在 上单调上升.

相反地，如果对于 当 时都有 .则称 在 上单调下降.

定理1.2（函数单调性判定定理的应用）

（1）若函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，且 >0 (或 <0),则当 时，有不等式    

                    （或 ）.

（2）若函数 在 上连续，在 内可导，且 >0 (或 <0),则当 时，有不等式

                     (或 ).

（3）若函数 在开区间 内  （或 <0）,且 存在，则当 时，有不等式

             （或   ).

可以利用这些命题证明关于可导函数 的不等式，只要证明它的导数 在所考虑的区间内大于零或小于零.

例1当 时， .

分析　可利用作差法构造辅助函数 则将要证明的结论转化为要证 ,

构造函数 显然， 连续，且 .又 

 ，则 严格单调增加，即有 进而 在 内严格单调增加，即有 

在利用函数单调性证明不等式时,不等式两边的函数必须可导,对所构造的辅助函数 `优尔~文[论]文'网www.youerw.com应在某闭区间内连续,开区间内可导,然后通过在开区间内 的符号判断 在闭区间上的单调性,从而根据函数的单调性来解决不等式问题.