当时生产和自然科学的状况是无法离开科学的。数学这个工具在许多学科和工程技术都日益广泛和深人地被应用了起来, 同时也给数学提出不少新问题。这类问题具有共同的特点, 就是关于运动（物体）。这就要求数学能在物体运动的角度去研究一些问题。特别是如何把形与数结合起来。例如, 在以落体和行星为典型的机械运动的研究中, 提出两个基本的问题: 一个是已知路程求速度； 一个是已知速度求路程。在等速运动的这一条件下, 这两个问题用初等数学就可以轻松解决。但是在变速运动的情况下, 用初等数学却无能为力。因为速度成为了变量, 初等的常量数学无法描述速度、时间、位置之间的复杂关系, 这种矛盾要求数学突破研究常量的范围, 提供能够用以描述和研究物体运动以及变化过程的新的数学概念—，变量和函数, 新的数学工具— 变量数学。在十七 世纪初, 虽然许多优秀的数学家了解到这种需要, 并已接触了一些解析几何的概念, 但其中较先认识到创建解析几何这门新学科的是法国的数学家笛卡儿( R.Desearte , 1596一1650 ) 、费马( P.deFermat, 1601一1665 )。他们的起点并不相同，但是最终都汇聚到了一起。

在《几何学》中, 笛卡儿较全面地叙述了解析几何这个学科的数学理论和思想观点, 笛卡儿的《几何学》奠定了解析几何的基础。笛卡儿想创造一种方法, 用来解决数学提出的一些新问题, 特别是, 那些属于运动变化的问题。他的方法是以两个观点为基础: 一是坐标的观点: 二是含有两个未知数的任一代数方程F (x, y)=O 看做平面上一条曲线的观点。笛卡儿第一个观点坐标的引人, 就是所谓的使平面“ 算术化” , 即把点与数组间建立一一对应的关系, 点的变化可以用数的变化来反映。笛卡儿第二个观点, 他把方程F（x，y）=0中的x, y看成变量, x看成点的“ 横坐标” 与x 对应的y作为点的“ 纵坐标” 。于是, 对于每个二得到完全确定的y , 也就是每一对（x，y）都对应一个点。反之, 每个点对应它的坐标（x，y）。因此, 在一般的情况下, 由方程F（x，y）=0。就得到了组成一条曲线的点的集合。也就是F（x，y）=0。表示平面上所有其坐标满足这个方程的点的集合构成的曲线。

笛卡儿的这种观点和方法, 开创了一门新的学科— 解析几何。这个新学科把曲线与方程联系起来, 把形与数结合起来, 把几何与代数结合起来。它能把几何问题用代数的方式来解决。解析几何的产生是建立变量数学的第一大成就。

笛卡儿在他的《几何学》和其它著作中, 较详细的讨论了解析几何的一些基本问题和应用。

他用相似三角形来求按已知比分割已知线段的分点坐标; 用计算梯形面积的方法来计算三角形的面积论文网; 他甚至还研究了一次方程所表示的曲线是直线以及直线的各种位置关系; 他指出了具有两个变数的二次方程表示双曲线、椭圆和抛物线。这些都是笛卡儿在创立解析几何中最重要的成就。此外, 他还研究了许多有趣的几何轨迹问题, 并利用抛物线和圆的交点来求三次和四次方程的实根。

2.1.2 微积分时代

随着解析几何的创建, 在数学中引进了变数是最重要的一点 ，成为数学发展的一个转折点, 并促进了微积分的发展。我们可以发现，笛卡儿讨论了求曲线问题在中研究透镜的聚光性能时的时候，而费马在研究一个量的极值, 借助运动的观点, 提出了求切线的方法。都是属于微积分中微分计算的先导。由于笛卡儿和费马在解析几何中引进了变数的概念,并把描述运动的函数关系和曲线问题的研究统一起来。于是， 关于路程与速度的问题, 就可以转化为求面积与切线的问题。解决有关运动变化的一些问题, 就可以应用数学上的这些成果。由于解析几何产生, 和在长期积累的大量数学成果的基础上, 牛顿(Newton 1642一1707 ) 和莱布尼兹( Ieibniz16 4 6一1 7 1 6 ) 于17 世纪后期建立了微积分。解析几何与微积分的出现，所产生的影响就是让哪些出现在实践中的问题得到了轻松的解决， 实现了常量数学向变量数学的飞跃。可以说， 微积分的出现是建立和发展变量数学的又一个伟大成就。