摘要矩阵分解是将矩阵分解为几个简单矩阵的和或者积的形式，它是矩阵计算的重要组成部分，从而使我们有可能把一个复杂的问题转化为相对简单的问题，起到化繁为简的作用。本文主要探讨了域上矩阵的分解以及相关应用，主要内容如下：1、将矩阵分解成幂等矩阵与可逆矩阵的乘积，证明该结论对任意n阶方阵都成立。2、将矩阵分解成幂等矩阵与可逆矩阵的和，证明n阶复矩阵均可进行这种分解。3、将矩阵分解为两个可逆矩阵之和，证明该结论对任意n阶矩阵均成立，并给出具体实例。4、探究矩阵的其他分解形式：LU分解，Cholesky分解以及QR分解，介绍了这三种分解的分解方法，通过具体实例求解计算。进一步探究它们的应用，并给出具体实例说明。46794

毕业论文关键词：矩阵分解； 幂等矩阵； 可逆矩阵；LU分解；cholesky分解，QR分解

Abstract

The factorizations of matrices is to decompose a matrix into the sum or product of a few simple matrices. This is an important part of the matrix calculations. Then we can change a complex problem into simple questions. This paper discusses the decomposition and application of the matrices, the main topics are as follows: 1.decompose the matrices into a product of an idempotent matrix and an invertible matrix. Prove the result holds for any n×n matrix. 2. The matrix is decomposed into a sum of an idempotent matrix and a reversible matrix.  Prove that the result holds for any complex matrix of order n.  3. Decompose the matrices into a sum of two invertible matrices and to prove that the result holds for any n-order matrix，and give some examples.  4. Explore other matrix factorization: LU decomposition, Cholesky decomposition and QR decomposition, we shall introduce the decomposition methods of such one. Furthermore, explore their application, and give examples. 

Keyword: The factorizations of matrices；idempotent matrix；invertrible matrix；LU decomposition；Cholesky decomposition；QR decomposition 

目录

摘    要 1

Abstract 1

引言 3

1. 将矩阵分解为幂等矩阵和可逆矩阵积 3

2. 将矩阵分解为幂等矩阵和可逆矩阵和 4

3. 将矩阵分解成两个可逆矩阵之和 5

4. 其他的矩阵分解形式 6

4.1 LU分解 6

4.1.1. LU分解的具体操作方法 6

4.1.2. LU分解的应用 7

4.2 Cholesky分解 8

4.2.1 Cholesky分解的具体操作方法 8

4.2.2 Cholesky分解的应用 9

4.3 QR分解 10

5. 总结与展望 12

引言

矩阵式高等代数学的一个主要内容，也是处理其他教学问题的一种常见研究工具。随着我国科学技术的不断发展，矩阵应用范围越来越广泛，人们关于矩阵相关知识的研究也越来越深入。矩阵的应用往往伴随着数值分析，而矩阵的运算在数值分析中占有重要地位。对一个复杂的矩阵进行分解，把它分解成几个具有特殊性质矩阵的组合，可以很大程度上简化矩阵的运算，更好的发现矩阵的良好性质，拓展矩阵的应用领域。