国内外的学者对于矩阵的分解进行了大量的研究。矩阵的几种常见分解为以下几种：LU分解、QR分解、Cholesky分解、奇异值分解。还有学者对Hessenberg分解、Schur分解分解等分解进行了研究，探究这些分解的可行性以及他们的应用范围，并取得了较好的成果。

介于幂等矩阵具有许多良好的性质，本文笔者将探讨利用较初等的高等代数方法将矩阵分解成幂等矩阵与可逆矩阵的积与和这种分解的可行性。从而从高等代数角度加深了环论中矩阵环论的认识。其次，我也将对之前学者所研究过的矩阵分解进行归纳总结，综述了相关的矩阵分解的相关研究，并给出这些分解的具体实例和能够应用的范围。为方便下文讨论，给出如下定义：

引理1：如果两个n阶可对角化复矩阵满足 ，那么这两个矩阵可以同时对角化。存在一个可逆矩阵P，使得 和 都是对角矩阵。

定义1:如果一个矩阵A，满足 ,则矩阵A为幂等矩阵。

定义2：如果矩阵A的行列式值不为0，即 ，则矩阵A为可逆矩阵。

定义3：如果一个方形矩阵A中的元素都是实数，并且它的转置矩阵与其自身相等（即 ），则矩阵A为实对称矩阵。

定义4：若实对称矩阵合同于单位矩阵 ，则该矩阵为正定矩阵。

1. 将矩阵分解为幂等矩阵和可逆矩阵积

下面我们利用高等代数的方法结合下面现代环论中一个初等证明

命题1：任意n阶方阵A都可以表示成一个幂等矩阵和一个可逆矩阵的乘积。

证明：假设  ，则存在可逆矩阵P，Q使得 .记 为r阶单位阵。

那么有  不妨记 ，则B为可逆矩阵

 ，则  

故C为幂等矩阵。命题得证。

例1：把下面这个矩阵A分解成幂等矩阵和可逆矩阵的积