致谢

1 绪论

1.1 研究背景

数论是研究整数性质的一门理论，在公众基本认识里，数论就是算术，但是算术常指数的计算，而数论是指数的理论。数论主要分为初等数论、代数数论、解析数论、计算数论和几何数论。

数论相关的一些问题数千年来一直吸引着世人的目光，如哥德巴赫猜想：是否每个大于 的偶数都可写成两个素数之和？至今哥德巴赫猜想还是未解决，各地数学研究中心常年会收到许多数学爱好者甚至农民商人的信件，自称已证明该猜想，但是均检验失败。

数学竞赛自诞生以后，因其开拓思维的特性，不断地发展，吸引一代又一代人的参与。IMO(国际数学奥林匹亚International Mathematical Olympiad），是国际科学奥林匹克历史中最长的赛事可以称得上是最重要的数学竞赛，更是受到各位数学竞赛爱好者的热捧。 

而数论在数学竞赛中一直占有重要的位置，是竞赛数学中极其重要的一部分，特别是在1990年，第31届IMO(国际数学奥林匹克)在中国举办，其中6道IMO试题中有5道与数论有关，这一年被国际上戏称为数论年。数论竞赛对提高中学生的数学素养很有帮助。对于数学竞赛的数论问题，需要明确数论的基本结构，包括整除理论，同余理论和不定方程等。整数集对于加法、减法、乘法运算封闭，可对于除法不封闭，所以研究整数之间的除法成了数论中的重要部分，数论可以建立在更简单的理论基础上[1]。

中学竞赛中的数论问题研究可以为参赛者带来助益。

1.2 研究历史及现状

数论历史悠久，最早记载源于古代中国和古希腊数学家们研究。关于数论内容的论述在我国古代许多数学著作中有出现，比如求最大公因数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等。在国外，研究人员主要以古希腊时代的数学家为主，他们对于数论中整除性问题展开系统的研究。19世纪，费马，梅森，欧拉，高斯等数学家将数论研究发展带入一个新的时代。而之后，信息技术的普及，知识传递的速度也逐渐加快，也推动了数论的发展，增添了超越数论等新的内容，从国内外搜集到的资料显示，对数论的研究增多，多偏向于高深知识。

随着数学竞赛的狂潮卷来，IMO等大型的比赛逐渐走进公众的视野，对IMO的研究专家学者数量增加，但多从IMO整体的历史、发展、单独的某种解法入手，虽有部分关于中学数学竞赛中数论命题与解题方面的文章，但是对于缺少IMO中数论问题的系统的研究，尤其是在方法的整理上面的著作较少。    

1.3 研究目的及意义

1.3.1. 研究目的

作为中学数学竞赛试题的源泉之一，数论问题以解法灵活，题型丰富而见称。在IMO中，数论内容问题保持每年不小于2个以上的比例。数论的解题强调数论知识运用的技巧性，注重数论思想方法的巧用。虽然在数论方面竞赛的书籍数不胜数，但是方法是数学解题的灵魂。本文以IMO试题为主要研究对象，对于近十年来IMO试题中的数论相关的题目的数量与难度进行统计分析，对于中学数学竞赛中的数论问题进行分类，知识点归类，方法总结，真题举例，希望能为参与中学数学竞赛的辅导教师及学生提供数论解题的借鉴及理论依据。

1.3.2. 研究意义

IMO作为国际性的一项比赛，我国自1986年参加以来，所取得成绩举世公认。为了使我国数学奥林匹克事业可持续发展，一方面要继续吸引青少年参与，一方面要吸引一部分数学工作者扎实地投入到这项活动中来，另一方面要深入研究奥林匹克数学的理论体系[2]。本文力求深入浅出，通俗易懂，希望使读者掌握和体会一些重要的概念、结论和思想方法，发展应用意识，开拓思维，进一步提高分析和解决问题的能力，从而更加充分的理解中学竞赛中的数论问题。只有学生认清数论问题的本质，站在一个更高的位置，学生才会思考并解决数论问题，而不是仅仅是依靠回忆套用公式求解问题的解法。通过具体的问题的运用解决有关整数和整除的知识，求解简单的一次不定方程、简单同余方程、同余方程组等。