（2.1）

证明  （1）若 、 有一个为零，假设 ，则 就是 、 的最大公因式，并且有 ， ,使 .

（2）若 、 全不为零，不妨设 .按带余除法，用 除 ，得到商 ，余式 ；如果 ，就再用 除 ，得到商 ，余式 ；又如果 ，就用 除 ，得到商 ,余式 ；照此下去，最后得到的余式的次数越来越低，即

 .

在经过多次运算后，必然会得到一个余式是零.

于是得到一串等式 与 的最大公因式是 .

依据前面的说明， 也就是 与 的一个最大公因式；同样的道理，逐步推上去， 就是 与 的一个最大公因式.

由上面的倒数第二个等式，我们有

 .

再由倒数第三式 ，代入上式可消去 ，得到 .

因此，可依次消去 ， ， ，然后整理，可得到 .

即是性质2.1中的（2.1）式.

性质2.2   、 是 中的个多项式，设 、 的标准分解式分别为： ； ，

其中：（1） 、 是 、 的首项系数，

（2） ， ， 不可约且互不相等，

（3） ， ， 首项系数均为1，

（4） ， ， ； ， ， 是非负整数，

则

这里 ， .

性质2.3  任意 ， 为任一非零常数，则有 .

    证明 （1）若 有一个为零，比如 ，则结论显然成立.

   （2）若 ，则令 ，则 ，  .

从而 ，即 是 与 的一个公因式.

又令 ， ，根据整除性质 ，故 ，

所以 是 与 的首项系数为 的最大公因式.

即 .

(3)对一般情况，设 ，

 ，

不妨设 ，则 ，

记 ，令 ，则 .

故 ,

记 ，且 ,

故 ，

依次，得到的差式的次数将越来越低，即

 .

因此，在有限次之后，必然有一差式为零，即

 ，

则 乘以首项系数的倒数之后即为 .

性质2.4  任意 ，则 和 的最大公因式有如下性质：

性质2.5   、 ，则对 施行一次关于 的初等行变换  . 

性质2.6  设 ，且 、 非零， ，对 施行初等行变换，可将 化为 ，其中 即为 、 的最大公因式，可表示为